1. **Aufgabe 14a: Berechnung der Flächeninhalte für m=0,5** Gegeben ist die Parabel $f(x) = -(x-2)^2 + 4$ und die Gerade $g(x) = 0,5x$. Die Flächen sind durch die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden begrenzt. **Schritt 1:** Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen: $$-(x-2)^2 + 4 = 0,5x$$ $$-(x^2 - 4x + 4) + 4 = 0,5x$$ $$-x^2 + 4x - 4 + 4 = 0,5x$$ $$-x^2 + 4x = 0,5x$$ $$-x^2 + 3,5x = 0$$ $$x(-x + 3,5) = 0$$ Schnittpunkte bei $x=0$ und $x=3,5$. **Schritt 2:** Flächeninhalt berechnen als Integral der Differenz der Funktionen: Blaue Fläche (unter der Parabel, über der Geraden): $$A_{blau} = \int_0^{3,5} [-(x-2)^2 + 4 - 0,5x] \, dx$$ Rote Fläche (zwischen Parabel und x-Achse, außerhalb der Schnittpunkte) wird analog berechnet (Details im Diagramm). 2. **Aufgabe 14b: Wert von m bestimmen, sodass blaue und rote Fläche gleich sind** Setze die Integrale der blauen und roten Flächen gleich und löse nach $m$ auf. 3. **Aufgabe 14d: Werte von m (m ≥ 0) bestimmen, für die keine Fläche im ersten Quadranten eingeschlossen wird** Untersuche, wann die Gerade $y=mx$ und die Parabel $y=-(x-2)^2+4$ sich im ersten Quadranten nicht schneiden oder nur berühren, sodass keine Fläche eingeschlossen wird. 4. **Aufgabe 15: Flächeninhalt zwischen $f(x) = 0,5x^2$, der Tangente in $P(3|4,5)$ und der x-Achse** **Schritt 1:** Tangentengleichung an $P$ bestimmen. Ableitung von $f$: $$f'(x) = x$$ Steigung an $x=3$: $$f'(3) = 3$$ Tangente: $$y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 3(x - 3) + 4,5 = 3x - 9 + 4,5 = 3x - 4,5$$ **Schritt 2:** Schnittpunkte mit x-Achse bestimmen: Für $f(x) = 0$: $$0,5x^2 = 0 \Rightarrow x=0$$ Für Tangente $y=0$: $$3x - 4,5 = 0 \Rightarrow x = 1,5$$ **Schritt 3:** Flächeninhalt berechnen: $$A = \int_0^{1,5} f(x) \, dx - \int_0^{1,5} (3x - 4,5) \, dx$$ 5. **Aufgabe 7a: Fläche zwischen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = x + 3$ von $x=-1$ bis $x=1$** Gegeben: $A = \frac{8}{3}$ FE Berechnung: $$A = \int_{-1}^1 |(x^2 + 4) - (x + 3)| \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx$$ 6. **Aufgabe 7b: Fläche zwischen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = 2x + 4$ von $x=-1$ bis $x=1$** Gegeben: $A = 2$ FE Berechnung: $$A = \int_{-1}^1 |(x^2 + 4) - (2x + 4)| \, dx = \int_{-1}^1 (x^2 - 2x) \, dx$$ 7. **Aufgabe 7d: Fläche zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x)$ von $x=\frac{\pi}{2}$ bis $x=\pi$** Gegeben: $A = 2$ FE Berechnung: $$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\sin(x) - \cos(x)| \, dx$$ 8. **Aufgabe 7f: Fläche zwischen $f(x) = \sin(x)$ und $g(x) = \cos(x) + 1$ von $x=\pi$ bis $x=2\pi$** Gegeben: $A = \pi + 2 \approx 5,14$ FE Berechnung: $$A = \int_{\pi}^{2\pi} |\sin(x) - (\cos(x) + 1)| \, dx$$ --- "slug": "flächeninhalte", "subject": "analysis", "svg": "", "desmos": {"latex": "", "features": {"intercepts": true, "extrema": true}}, "q_count": 6