1. Gegeben sind die Funktionen $$f(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}49x + 1{,}5$$ und $$g(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}49x + 1{,}5$$. 2. Die Aufgabe ist, die Flächeninhalte $$A_1, A_2, ..., A_6$$ der gefärbten Flächen als Integrale anzugeben, ohne die Funktionsterme von $$f$$ und $$g$$ zu bestimmen. 3. Wichtig: Die Flächen zwischen zwei Funktionen $$f(x)$$ und $$g(x)$$ auf einem Intervall $$[a,b]$$ berechnet man mit dem Integral $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ 4. Da die Funktionen sich mehrfach schneiden, müssen wir die Schnittstellen bestimmen, um die Integrationsgrenzen zu finden. Die Schnittstellen sind die Nullstellen von $$f(x) - g(x)$$. 5. Die Differenz ist $$f(x) - g(x) = \left(-0{,}01x^3 + 0{,}49x + 1{,}5\right) - \left(0{,}01x^3 - 0{,}49x + 1{,}5\right) = -0{,}02x^3 + 0{,}98x$$ 6. Setze $$f(x) - g(x) = 0$$: $$-0{,}02x^3 + 0{,}98x = 0$$ 7. Faktorisiere: $$x(-0{,}02x^2 + 0{,}98) = 0$$ 8. Die Nullstellen sind: $$x = 0$$ und $$-0{,}02x^2 + 0{,}98 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{0{,}98}{0{,}02} = 49 \Rightarrow x = \pm 7$$ 9. Die Schnittpunkte liegen also bei $$x = -7, 0, 7$$. Da der Graph nur von $$-2$$ bis $$3$$ gezeigt wird, betrachten wir nur den Bereich $$[-2,3]$$. 10. Die sechs Flächen sind zwischen den Schnittpunkten und den Grenzen des gezeigten Bereichs aufgeteilt: - $$A_1$$ zwischen $$x = -2$$ und $$x = -7$$ (außerhalb des sichtbaren Bereichs, daher ignorieren wir) - $$A_2$$ zwischen $$x = -2$$ und $$x = 0$$ - $$A_3$$ zwischen $$x = 0$$ und $$x = 3$$ - $$A_4, A_5, A_6$$ liegen ebenfalls zwischen diesen Grenzen, aber da nur drei Schnittpunkte im sichtbaren Bereich sind, nehmen wir an, dass die sechs Flächen durch weitere Unterteilungen zwischen $$-2$$ und $$3$$ entstehen, z.B. durch weitere Schnittpunkte der Funktionen oder durch die x-Achse. 11. Da die Aufgabe nur verlangt, die Flächeninhalte als Integrale anzugeben, ohne die Funktionsterme zu bestimmen, schreiben wir die Integrale für die sechs Flächen als Differenzen der Funktionen über die jeweiligen Intervalle: $$A_1 = \int_{-2}^{x_1} |f(x) - g(x)| \, dx$$ $$A_2 = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx$$ $$A_3 = \int_{x_2}^{x_3} |f(x) - g(x)| \, dx$$ $$A_4 = \int_{x_3}^{x_4} |f(x) - g(x)| \, dx$$ $$A_5 = \int_{x_4}^{x_5} |f(x) - g(x)| \, dx$$ $$A_6 = \int_{x_5}^{3} |f(x) - g(x)| \, dx$$ wobei $$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$$ die weiteren Schnittpunkte oder Grenzen der gefärbten Flächen sind, die aus dem Graphen abgelesen werden müssen. 12. Zusammenfassung: Die Flächeninhalte $$A_i$$ sind als Integrale der Betragsdifferenz der Funktionen $$f$$ und $$g$$ über die jeweiligen Intervalle definiert: $$A_i = \int_{a_i}^{b_i} |f(x) - g(x)| \, dx$$ mit $$a_i, b_i$$ als die Grenzen der jeweiligen Fläche. 13. Da die Funktionsterme nicht bestimmt werden sollen, bleibt die Angabe in dieser Form.