1. **Problem statement:** Berechnen Sie für $m=0{,}5$ die Flächeninhalte der blau und rot gefärbten Flächen, die durch die Parabel $$y=-(x-2)^2+4$$ und die Gerade $$y=mx$$ eingeschlossen werden. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** Die Fläche zwischen zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ auf dem Intervall $[a,b]$ berechnet sich durch $$\text{Fläche} = \int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx$$ Wichtig: Die Grenzen $a$ und $b$ sind die Schnittpunkte der Funktionen. 3. **Schnittpunkte für $m=0{,}5$ bestimmen:** Setze $$-(x-2)^2+4 = 0{,}5x$$ $$-(x^2 -4x +4) +4 = 0{,}5x$$ $$-x^2 +4x -4 +4 = 0{,}5x$$ $$-x^2 +4x = 0{,}5x$$ $$-x^2 +4x - 0{,}5x = 0$$ $$-x^2 + 3{,}5x = 0$$ Faktor aus: $$x(-x + 3{,}5) = 0$$ Schnittpunkte bei $$x=0$$ und $$x=3{,}5$$. 4. **Flächeninhalte berechnen:** - Rote Fläche zwischen $x=0$ und $x=3{,}5$ unter der Parabel und über der Geraden: $$A_{rot} = \int_0^{3{,}5} (-(x-2)^2 +4 - 0{,}5x) \, dx$$ - Blaue Fläche zwischen $x=3{,}5$ und $x=4$ unter der Geraden und über der x-Achse: $$A_{blau} = \int_{3{,}5}^4 0{,}5x \, dx$$ 5. **Integral für $A_{rot}$ ausrechnen:** Erweitere die Parabelfunktion: $$-(x-2)^2 +4 = -(x^2 -4x +4) +4 = -x^2 +4x -4 +4 = -x^2 +4x$$ Integrand: $$-x^2 +4x - 0{,}5x = -x^2 + 3{,}5x$$ Integral: $$\int_0^{3{,}5} (-x^2 + 3{,}5x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3{,}5x^2}{2}\right]_0^{3{,}5}$$ Berechnung: $$-\frac{(3{,}5)^3}{3} + \frac{3{,}5 (3{,}5)^2}{2} = -\frac{42{,}875}{3} + \frac{3{,}5 \times 12{,}25}{2} = -14{,}2917 + 21{,}4375 = 7{,}1458$$ 6. **Integral für $A_{blau}$ ausrechnen:** $$\int_{3{,}5}^4 0{,}5x \, dx = \left[0{,}25 x^2\right]_{3{,}5}^4 = 0{,}25 (16 - 12{,}25) = 0{,}25 \times 3{,}75 = 0{,}9375$$ **Antwort:** Die rote Fläche hat den Inhalt $$7{,}15$$ (gerundet) und die blaue Fläche $$0{,}94$$ (gerundet) für $m=0{,}5$.