1. Problem 7a: Berechnen Sie die Fläche zwischen $f(x) = x^2 + 4$ und $g(x) = x + 3$ für $x = -1$ bis $x = 1$. 2. Formel: Die Fläche zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$ auf $[a,b]$ ist $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$ 3. Schritt: Bestimmen Sie $f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - (x + 3) = x^2 - x + 1$ 4. Da $x^2 - x + 1 > 0$ für alle $x$, ist $$A = \int_{-1}^1 (x^2 - x + 1) \, dx$$ 5. Integrieren: $$\int (x^2 - x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + C$$ 6. Auswertung: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1\right)$$ 7. Vereinfachen: $$= \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1\right) = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1\right) + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1$$ 8. Zusammenfassen: $$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$$ 9. Antwort: Die Fläche beträgt $\boxed{\frac{8}{3}}$ Flächeneinheiten. --- 14a. Gegeben: Parabel $y = -(x-2)^2 + 4$ und Gerade $y = 0.5x$. 1. Schnittpunkte bestimmen durch Gleichsetzen: $$-(x-2)^2 + 4 = 0.5x$$ 2. Umformen: $$-(x^2 - 4x + 4) + 4 = 0.5x \Rightarrow -x^2 + 4x -4 + 4 = 0.5x$$ $$-x^2 + 4x = 0.5x$$ 3. Umstellen: $$-x^2 + 4x - 0.5x = 0 \Rightarrow -x^2 + 3.5x = 0$$ 4. Faktorisieren: $$x(-x + 3.5) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ oder } x=3.5$$ 5. Fläche zwischen Kurven: $$A = \int_0^{3.5} (-(x-2)^2 + 4 - 0.5x) \, dx$$ 6. Ausmultiplizieren: $$-(x^2 - 4x + 4) + 4 - 0.5x = -x^2 + 4x -4 + 4 - 0.5x = -x^2 + 3.5x$$ 7. Integrieren: $$\int (-x^2 + 3.5x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3.5x^2}{2} + C$$ 8. Auswertung: $$A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3.5x^2}{2}\right]_0^{3.5} = \left(-\frac{(3.5)^3}{3} + \frac{3.5 (3.5)^2}{2}\right) - 0$$ 9. Berechnung: $$3.5^3 = 42.875$$ $$3.5^2 = 12.25$$ $$A = -\frac{42.875}{3} + \frac{3.5 \times 12.25}{2} = -14.2917 + 21.4375 = 7.1458$$ 10. Antwort: Die blaue Fläche hat Inhalt ca. $7.15$ FE. --- 15. Gegeben: $f(x) = 0.5x^2$, Punkt $P(3,4.5)$, Tangente in $P$, x-Achse. 1. Tangentensteigung berechnen: $$f'(x) = 0.5 \times 2x = x$$ $$f'(3) = 3$$ 2. Tangentengleichung: $$y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 3(x - 3) + 4.5 = 3x - 9 + 4.5 = 3x - 4.5$$ 3. Schnittpunkte mit x-Achse: $$0 = 3x - 4.5 \Rightarrow x = 1.5$$ 4. Fläche zwischen $f(x)$, Tangente und x-Achse von $x=0$ bis $x=3$ (da $f(0)=0$ und $P$ bei 3): 5. Fläche unter $f(x)$ von 0 bis 3: $$A_f = \int_0^3 0.5x^2 \, dx = 0.5 \times \frac{x^3}{3} \Big|_0^3 = 0.5 \times 9 = 4.5$$ 6. Fläche unter Tangente von 1.5 bis 3: $$A_t = \int_{1.5}^3 (3x - 4.5) \, dx = \left(\frac{3x^2}{2} - 4.5x\right)_{1.5}^3$$ 7. Auswertung: $$= \left(\frac{3 \times 9}{2} - 13.5\right) - \left(\frac{3 \times 2.25}{2} - 6.75\right) = (13.5 - 13.5) - (3.375 - 6.75) = 0 - (-3.375) = 3.375$$ 8. Gesamtfläche: $$A = A_f + A_t = 4.5 + 3.375 = 7.875$$ 9. Antwort: Die Fläche beträgt $\boxed{7.875}$ Flächeneinheiten.