1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right)$ für $x \in [-1,4]$. Aufgabe 2a: Bestimmen Sie den Flächeninhalt $A$ der markierten Fläche unter dem Graphen $K$. Aufgabe 2b: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Parallele zur x-Achse durch $H$, der y-Achse und dem Graphen $K$ begrenzt wird. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Der Flächeninhalt unter einem Graphen $f(x)$ zwischen $x=a$ und $x=b$ wird durch das bestimmte Integral berechnet: $$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$ Wichtig: Wenn $f(x)$ negativ ist, muss der Betrag genommen werden, da Flächeninhalt positiv ist. 3. **Aufgabe 2a - Flächeninhalt $A$ bestimmen:** Der Graph schneidet die x-Achse bei $x=0$ und $x=3$. Die markierte Fläche liegt zwischen diesen Nullstellen. Also: $$A = \int_0^3 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) dx$$ 4. **Integral berechnen:** $$\int 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) dx = 3 \cdot \int \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) dx$$ Setze $u = \frac{\pi}{3} x$, dann $du = \frac{\pi}{3} dx \Rightarrow dx = \frac{3}{\pi} du$ $$= 3 \cdot \int \sin(u) \cdot \frac{3}{\pi} du = \frac{9}{\pi} \int \sin(u) du = -\frac{9}{\pi} \cos(u) + C$$ Zurück substituieren: $$= -\frac{9}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + C$$ 5. **Bestimmtes Integral auswerten:** $$A = \left[-\frac{9}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^3 = -\frac{9}{\pi} \cos\left(\pi\right) + \frac{9}{\pi} \cos(0)$$ Da $\cos(\pi) = -1$ und $\cos(0) = 1$: $$A = -\frac{9}{\pi} (-1) + \frac{9}{\pi} (1) = \frac{9}{\pi} + \frac{9}{\pi} = \frac{18}{\pi}$$ 6. **Aufgabe 2b - Fläche zwischen Parallele durch $H$, y-Achse und $K$:** Punkt $H$ ist der Hochpunkt bei $x=\frac{3}{2}$ (Maximum von $f$). Der y-Wert von $H$ ist: $$f\left(\frac{3}{2}\right) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot 1 = 3$$ Die Parallele zur x-Achse durch $H$ ist also $y=3$. Die Fläche wird begrenzt durch: - die Parallele $y=3$ - die y-Achse ($x=0$) - den Graphen $K$ von $x=0$ bis $x=\frac{3}{2}$ 7. **Flächeninhalt berechnen:** Fläche unter $y=3$ von $x=0$ bis $x=\frac{3}{2}$: $$A_1 = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$ Fläche unter $K$ von $x=0$ bis $x=\frac{3}{2}$: $$A_2 = \int_0^{\frac{3}{2}} 3 \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right) dx$$ Berechnung analog zu Schritt 4 und 5: $$A_2 = \left[-\frac{9}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) \right]_0^{\frac{3}{2}} = -\frac{9}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) + \frac{9}{\pi} \cos(0)$$ $$= -\frac{9}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{9}{\pi} \cdot 1 = -\frac{9}{\pi} \cdot 0 + \frac{9}{\pi} = \frac{9}{\pi}$$ 8. **Gesuchte Fläche:** $$A = A_1 - A_2 = \frac{9}{2} - \frac{9}{\pi}$$ **Endergebnisse:** - a) $A = \frac{18}{\pi} \approx 5{,}73$ - b) $A = \frac{9}{2} - \frac{9}{\pi} \approx 4{,}5 - 2{,}86 = 1{,}64$