1. **Problemstellung:** Berechne den Flächeninhalt $A$ der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $$f(x) = 1 - x^2$$ und $$g(x) = x^2 - 2x + 1$$ zwischen ihren Schnittpunkten eingeschlossen wird. 2. **Schnittpunkte bestimmen:** Setze $f(x) = g(x)$, um die Grenzen des Integrals zu finden: $$1 - x^2 = x^2 - 2x + 1$$ 3. **Gleichung umformen:** $$1 - x^2 = x^2 - 2x + 1$$ $$\Rightarrow 1 - x^2 - x^2 + 2x - 1 = 0$$ $$\Rightarrow -2x^2 + 2x = 0$$ $$\Rightarrow 2x^2 - 2x = 0$$ (Multipliziere mit $-1$ für bessere Übersicht) $$\Rightarrow 2x(x - 1) = 0$$ 4. **Lösungen der Gleichung:** $$x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 1$$ 5. **Bestimmen, welche Funktion oben liegt:** Teste z.B. bei $x=0.5$: $$f(0.5) = 1 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$$ $$g(0.5) = (0.5)^2 - 2(0.5) + 1 = 0.25 - 1 + 1 = 0.25$$ Also ist $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ im Intervall $[0,1]$. 6. **Flächeninhalt berechnen:** $$A = \int_0^1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int_0^1 \left[(1 - x^2) - (x^2 - 2x + 1)\right] dx$$ 7. **Integrand vereinfachen:** $$= \int_0^1 \left(1 - x^2 - x^2 + 2x - 1\right) dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx$$ 8. **Integral berechnen:** $$= \left[ x^2 - \frac{2}{3} x^3 \right]_0^1 = \left(1^2 - \frac{2}{3} \cdot 1^3\right) - (0 - 0) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ **Endergebnis:** $$\boxed{\frac{1}{3}}$$ Der Flächeninhalt $A$ zwischen den Graphen von $f$ und $g$ im Intervall $[0,1]$ beträgt $\frac{1}{3}$.