1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für Aufgabe 2 a). 2. **Gegebene Funktion:** $f(x) = x^2 - 1$. 3. **Bereich:** Zwischen $x=0$ und $x=2$ unter der Parabel und über der x-Achse. 4. **Wichtig:** Die Fläche unter der x-Achse wird positiv gezählt, daher integrieren wir den Betrag von $f(x)$ oder trennen das Integral an der Nullstelle. 5. **Nullstellen von $f(x)$:** $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. 6. **Aufteilung des Integrals:** Von $0$ bis $1$ ist $f(x) < 0$, von $1$ bis $2$ ist $f(x) > 0$. 7. **Integral berechnen:** $$\text{Fläche} = \int_0^1 |x^2 - 1| dx + \int_1^2 (x^2 - 1) dx = \int_0^1 (1 - x^2) dx + \int_1^2 (x^2 - 1) dx$$ 8. **Erster Teil:** $$\int_0^1 (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 9. **Zweiter Teil:** $$\int_1^2 (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$$ 10. **Gesamtfläche:** $$\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$$ --- 1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f(x) = 0.5x^2 - 3x$ mit der x-Achse einschließt (Aufgabe 3 a)). 2. **Nullstellen bestimmen:** $$0.5x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(0.5x - 3) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ oder } x=6$$ 3. **Integral:** $$\int_0^6 |0.5x^2 - 3x| dx$$ 4. **Vorzeichen prüfen:** Für $x$ zwischen 0 und 6 ist $f(x)$ negativ bis $x=0$ und positiv danach, aber da $f(0)=0$ und $f(6)=0$, und $f(x)$ ist negativ zwischen 0 und 6 (da $0.5x^2$ wächst langsamer als $3x$), wir prüfen bei $x=3$: $f(3) = 0.5*9 - 9 = 4.5 - 9 = -4.5 < 0$, also $f(x) < 0$ im Intervall. 5. **Integral mit Betrag:** $$\int_0^6 -(0.5x^2 - 3x) dx = \int_0^6 (-0.5x^2 + 3x) dx$$ 6. **Berechnung:** $$\left[ -\frac{0.5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^6 = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^6 = \left( -\frac{1}{6}*216 + \frac{3}{2}*36 \right) - 0 = (-36 + 54) = 18$$ --- 1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche zwischen $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$ und $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ von etwa $x=-2$ bis $x=1$ (Aufgabe 4 a)). 2. **Schnittpunkte bestimmen:** $$\frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$$ 3. **Lösen:** $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ 4. **Schnittpunkte:** $$x = 2 \text{ oder } x = -1$$ 5. **Integral:** $$\int_{-1}^2 \left( \frac{1}{2}x + 1 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = \int_{-1}^2 \left( -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \right) dx$$ 6. **Berechnung:** $$\left[ -\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 + x \right]_{-1}^2 = \left( -\frac{8}{6} + 1 + 2 \right) - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 1 \right) = \left( -\frac{4}{3} + 3 \right) - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 1 \right) = \frac{5}{3} - \left( \frac{5}{12} - 1 \right) = \frac{5}{3} - \left( -\frac{7}{12} \right) = \frac{5}{3} + \frac{7}{12} = \frac{20}{12} + \frac{7}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2.25$$ --- 1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f(x) = x^2$ und $g(x) = 4x^3 + x^2 - 9x$ einschließen (Aufgabe 5 d)). 2. **Differenzfunktion:** $$h(x) = g(x) - f(x) = (4x^3 + x^2 - 9x) - x^2 = 4x^3 - 9x$$ 3. **Nullstellen von $h(x)$:** $$4x^3 - 9x = x(4x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ oder } 4x^2 - 9=0 \Rightarrow x= \pm \frac{3}{2}$$ 4. **Bereich der Integration:** Zwischen $x = -\frac{3}{2}$ und $x = 0$ und zwischen $x=0$ und $x=\frac{3}{2}$. 5. **Vorzeichen prüfen:** Für $x$ zwischen $0$ und $\frac{3}{2}$ ist $h(x) = 4x^3 - 9x < 0$ (z.B. bei $x=1$: $4 - 9 = -5$), zwischen $-\frac{3}{2}$ und $0$ ist $h(x) > 0$ (z.B. bei $x=-1$: $-4 - (-9) = 5$). 6. **Integral:** $$\text{Fläche} = \int_{-\frac{3}{2}}^0 h(x) dx - \int_0^{\frac{3}{2}} h(x) dx = \int_{-\frac{3}{2}}^0 (4x^3 - 9x) dx - \int_0^{\frac{3}{2}} (4x^3 - 9x) dx$$ 7. **Berechnung:** $$\int (4x^3 - 9x) dx = x^4 - \frac{9}{2}x^2 + C$$ 8. **Erster Teil:** $$\left[ x^4 - \frac{9}{2}x^2 \right]_{-\frac{3}{2}}^0 = \left(0 - 0\right) - \left( \left(-\frac{3}{2}\right)^4 - \frac{9}{2} \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \right) = 0 - \left( \frac{81}{16} - \frac{9}{2} * \frac{9}{4} \right) = - \left( \frac{81}{16} - \frac{81}{8} \right) = - \left( \frac{81}{16} - \frac{162}{16} \right) = - \left( -\frac{81}{16} \right) = \frac{81}{16}$$ 9. **Zweiter Teil:** $$\left[ x^4 - \frac{9}{2}x^2 \right]_0^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{81}{16} - \frac{81}{8} \right) - 0 = -\frac{81}{16}$$ 10. **Gesamtfläche:** $$\frac{81}{16} - \left(-\frac{81}{16}\right) = \frac{81}{16} + \frac{81}{16} = \frac{162}{16} = \frac{81}{8} = 10.125$$