1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für die Funktion $f(x) = x^2 - 1$ im Intervall von $x=0$ bis $x=2$. 2. **Formel:** Der Flächeninhalt unter einer Kurve $f(x)$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ wird durch das bestimmte Integral berechnet: $$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$ Da $f(x)$ im Intervall $[0,2]$ nicht negativ ist (überprüfen durch Einsetzen von $x=0$ und $x=2$), können wir das Integral ohne Betragsstriche berechnen: $$A = \int_0^2 (x^2 - 1) \, dx$$ 3. **Zwischenschritte:** Berechnen des Integrals: $$\int_0^2 (x^2 - 1) \, dx = \int_0^2 x^2 \, dx - \int_0^2 1 \, dx$$ $$= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 - \left[ x \right]_0^2$$ $$= \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) - (2 - 0)$$ $$= \frac{8}{3} - 2$$ 4. **Vereinfachung:** $$= \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$$ 5. **Erklärung:** Der Flächeninhalt der gefärbten Fläche unter der Kurve $f(x) = x^2 - 1$ von $x=0$ bis $x=2$ beträgt $\frac{2}{3}$. Dies wurde durch Integration der Funktion über das gegebene Intervall berechnet.