1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für die Funktionen: a) $f(x) = x^2 - 1$ b) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ c) $f(x) = -(x+1)^2$ d) $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x^2 - x$ 2. **Formel und wichtige Regeln:** Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion $f(x)$ und der x-Achse von $a$ bis $b$ wird durch das Integral $$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$ berechnet. Wenn $f(x)$ über dem Intervall positiv ist, entspricht der Flächeninhalt einfach $$A = \int_a^b f(x) \, dx$$ Wenn $f(x)$ negativ ist, nehmen wir den Betrag, also $$A = -\int_a^b f(x) \, dx$$ 3. **Berechnung der Flächeninhalte:** a) Für $f(x) = x^2 - 1$ von $x=0$ bis $x=2$: $$\int_0^2 (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_0^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$$ Da $f(x)$ im Intervall teilweise negativ ist (z.B. bei $x=0$, $f(0)=-1$), müssen wir prüfen, ob die Funktion die x-Achse schneidet und ggf. das Integral aufteilen. Die Nullstellen sind bei $x=\pm 1$. Für $x$ in $[0,1]$, $f(x)<0$, für $x$ in $[1,2]$, $f(x)>0$. Also: $$A = -\int_0^1 (x^2 - 1) \, dx + \int_1^2 (x^2 - 1) \, dx$$ Berechnung: $$-\int_0^1 (x^2 - 1) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_0^1 = -\left( \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}$$ $$\int_1^2 (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$$ Gesamtfläche: $$A = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$$ b) Für $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ von $x=0$ bis $x=2$: $$\int_0^2 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_0^2 = \left( -\frac{8}{3} + 8 - 6 \right) - 0 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{2}{3}$$ Da das Ergebnis negativ ist, ist die Funktion im Intervall überwiegend unter der x-Achse, also nehmen wir den Betrag: $$A = -\int_0^2 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \frac{2}{3}$$ c) Für $f(x) = -(x+1)^2$ von $x=-3$ bis $x=1$: $$\int_{-3}^1 -(x+1)^2 \, dx = -\int_{-3}^1 (x+1)^2 \, dx$$ Substitution: $u = x+1$, $du = dx$, Grenzen: $x=-3 \to u=-2$, $x=1 \to u=2$ $$= -\int_{-2}^2 u^2 \, du = -\left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-2}^2 = -\left( \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) \right) = -\frac{16}{3}$$ Da negativ, Fläche ist $$A = \frac{16}{3}$$ d) Für $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x^2 - x$ von $x=-4$ bis $x=-2$: $$\int_{-4}^{-2} \left( \frac{1}{6}x^3 - 2x^2 - x \right) dx = \left[ \frac{1}{24}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} \right]_{-4}^{-2}$$ Berechnung der Grenzwerte: Bei $x=-2$: $$\frac{1}{24}(-2)^4 - \frac{2}{3}(-2)^3 - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{24}16 + \frac{2}{3}8 - 2 = \frac{2}{3} + \frac{16}{3} - 2 = 6 - 2 = 4$$ Bei $x=-4$: $$\frac{1}{24}(-4)^4 - \frac{2}{3}(-4)^3 - \frac{(-4)^2}{2} = \frac{1}{24}256 + \frac{2}{3}64 - 8 = \frac{256}{24} + \frac{128}{3} - 8 = \frac{32}{3} + \frac{128}{3} - 8 = \frac{160}{3} - 8 = \frac{160}{3} - \frac{24}{3} = \frac{136}{3}$$ Integralwert: $$4 - \frac{136}{3} = -\frac{124}{3}$$ Da negativ, Fläche ist $$A = \frac{124}{3}$$ 4. **Endergebnis:** a) $2$ b) $\frac{2}{3}$ c) $\frac{16}{3}$ d) $\frac{124}{3}$