1. **Problem statement:** Bestimme den Flächeninhalt, der im Intervall zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen ist für $f(x) = 4x^2$ im Intervall $I = [-1; 2]$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion $f(x)$ und der $x$-Achse im Intervall $[a,b]$ wird durch das bestimmte Integral $$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$ berechnet. Da $f(x) = 4x^2$ immer nicht-negativ ist (Quadratfunktion), gilt $|f(x)| = f(x)$. 3. **Berechnung des Integrals:** $$A = \int_{-1}^2 4x^2 \, dx$$ 4. **Stammfunktion bestimmen:** Die Stammfunktion von $4x^2$ ist $$F(x) = \frac{4}{3}x^3 + C$$ 5. **Integral auswerten:** $$A = F(2) - F(-1) = \frac{4}{3} \cdot 2^3 - \frac{4}{3} \cdot (-1)^3 = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{32}{3} + \frac{4}{3} = \frac{36}{3} = 12$$ 6. **Ergebnis:** Der Flächeninhalt beträgt $12$.