1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Zahlenfolge $$a_n = \frac{5 - n^2}{3n^2 - 1}$$. Wir sollen den Grenzwert $$g$$ der Folge bestimmen und den Index $$n_0$$ berechnen, ab dem alle Folgenglieder in der $$\varepsilon$$-Umgebung von $$g$$ für $$\varepsilon = 0{,}01$$ liegen. 2. **Grenzwertvermutung:** Für große $$n$$ dominiert der Term mit $$n^2$$ im Zähler und Nenner. 3. **Grenzwertberechnung:** $$ g = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - n^2}{3n^2 - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n^2} - 1}{3 - \frac{1}{n^2}} = \frac{0 - 1}{3 - 0} = -\frac{1}{3} $$ 4. **Berechnung von $$n_0$$:** Wir wollen $$n_0$$ so bestimmen, dass für alle $$n \geq n_0$$ gilt: $$ |a_n - g| < 0{,}01 $$ Setze $$a_n$$ und $$g$$ ein: $$ \left| \frac{5 - n^2}{3n^2 - 1} + \frac{1}{3} \right| < 0{,}01 $$ 5. **Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen:** $$ \left| \frac{5 - n^2}{3n^2 - 1} + \frac{1}{3} \right| = \left| \frac{3(5 - n^2)}{3(3n^2 - 1)} + \frac{3n^2 - 1}{3(3n^2 - 1)} \right| = \left| \frac{15 - 3n^2 + 3n^2 - 1}{3(3n^2 - 1)} \right| = \left| \frac{14}{3(3n^2 - 1)} \right| $$ 6. **Ungleichung vereinfachen:** $$ \frac{14}{3(3n^2 - 1)} < 0{,}01 $$ 7. **Nach $$n$$ auflösen:** $$ 14 < 0{,}01 \cdot 3(3n^2 - 1) \\ 14 < 0{,}03 (3n^2 - 1) \\ \frac{14}{0{,}03} < 3n^2 - 1 \\ 466{,}67 < 3n^2 - 1 \\ 466{,}67 + 1 < 3n^2 \\ 467{,}67 < 3n^2 \\ \frac{467{,}67}{3} < n^2 \\ 155{,}89 < n^2 \\ \Rightarrow n > \sqrt{155{,}89} \approx 12{,}49 $$ 8. **Ergebnis:** Der Index $$n_0$$ ist die kleinste ganze Zahl größer als $$12{,}49$$, also $$n_0 = 13$$. **Antwort:** - Der Grenzwert der Folge ist $$g = -\frac{1}{3}$$. - Ab $$n_0 = 13$$ liegen alle Folgenglieder in der $$0{,}01$$-Umgebung von $$g$$.