1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktion $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$$ auf Monotonie und Extremstellen. 2. **Formeln und Regeln:** - Die erste Ableitung $$f'(x)$$ gibt die Steigung der Funktion an. - Nullstellen von $$f'(x)$$ sind Kandidaten für Extremstellen. - Die zweite Ableitung $$f''(x)$$ gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten und hilft bei der Bestimmung von Hoch- oder Tiefpunkten. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 3 = -x^2 - 2x + 3$$ $$f''(x) = -2x - 2$$ 4. **Extremstellen finden:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$-x^2 - 2x + 3 = 0$$ Multipliziere mit $$-1$$: $$\cancel{-}x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow \cancel{-}(-x^2 - 2x + 3) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$$ Faktorisieren: $$(x + 3)(x - 1) = 0$$ Also sind die Kandidaten $$x = -3$$ und $$x = 1$$. 5. **Art der Extremstellen bestimmen:** Berechne $$f''(x)$$ an den Kandidaten: - Für $$x = -3$$: $$f''(-3) = -2(-3) - 2 = 6 - 2 = 4 > 0$$, also Tiefpunkt. - Für $$x = 1$$: $$f''(1) = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4 < 0$$, also Hochpunkt. 6. **Monotonie:** - $$f'(x) > 0$$ bedeutet monoton steigend. - $$f'(x) < 0$$ bedeutet monoton fallend. Untersuche Vorzeichen von $$f'(x) = -x^2 - 2x + 3$$: - Zwischen $$-3$$ und $$1$$ ist $$f'(x) > 0$$ (monoton steigend). - Für $$x < -3$$ und $$x > 1$$ ist $$f'(x) < 0$$ (monoton fallend). **Endergebnis:** - Tiefpunkt bei $$x = -3$$ - Hochpunkt bei $$x = 1$$ - Funktion fällt für $$x < -3$$, steigt für $$-3 < x < 1$$, fällt für $$x > 1$$.