1. **Problemstellung:** Gegeben ist das Schaubild einer Funktion $f$ mit Definitionsbereich $[-7;7]$. Es sollen die folgenden Behauptungen begründet werden, ob sie wahr oder falsch sind. 2. **Behauptung (1):** Die Tangente an das Schaubild von $f$ an der Stelle $x=-2$ hat die Steigung $-1$. - Die Steigung der Tangente an $f$ an der Stelle $x=-2$ ist $f'(-2)$. - Ohne konkrete Funktion $f$ oder Ableitung $f'$ kann man diese Aussage nicht rechnerisch überprüfen. - Falls im Schaubild die Tangente an $x=-2$ tatsächlich Steigung $-1$ hat, ist die Aussage wahr, sonst falsch. 3. **Behauptung (2):** Das Schaubild jeder Stammfunktion von $f$ hat an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente. - Eine Stammfunktion $F$ von $f$ erfüllt $F'(x) = f(x)$. - Die Tangentensteigung an $F$ an $x=0$ ist $F'(0) = f(0)$. - Für eine waagerechte Tangente muss $F'(0) = 0$ gelten, also $f(0) = 0$. - Ohne Kenntnis von $f(0)$ kann man nicht sicher sagen, ob die Tangente waagerecht ist. - Falls $f(0) = 0$, ist die Aussage wahr, sonst falsch. 4. **Behauptung (3):** Jede Stammfunktion von $f$ hat fünf Wendestellen. - Wendestellen von $F$ sind Stellen, an denen $F''(x) = 0$ und das Krümmungsverhalten wechselt. - Da $F'(x) = f(x)$, gilt $F''(x) = f'(x)$. - Die Wendestellen von $F$ entsprechen also den Nullstellen von $f'(x)$ mit Vorzeichenwechsel. - Ohne Kenntnis von $f'(x)$ kann man nicht sicher sagen, ob es genau fünf Wendestellen gibt. 5. **Behauptung (4):** $\int_{-4}^4 f(x) \, dx > 10$ - Ohne konkrete Funktion $f$ kann man das Integral nicht berechnen. - Die Aussage kann nur mit Kenntnis des Graphen oder der Funktion überprüft werden. 6. **Behauptung (5):** $\int_0^4 f'(x) \, dx = 0$ - Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: $$\int_0^4 f'(x) \, dx = f(4) - f(0)$$ - Die Aussage ist nur wahr, wenn $f(4) = f(0)$. - Ohne Kenntnis von $f(0)$ und $f(4)$ kann man die Aussage nicht sicher bewerten. **Zusammenfassung:** - Ohne konkrete Funktionsvorschrift oder Werte kann man nur allgemeine Regeln anwenden. - Aussagen (1), (2), (3), (4), (5) hängen von Eigenschaften von $f$ und $f'$ ab, die nicht gegeben sind. - Die Behauptungen können nur mit zusätzlicher Information über $f$ oder dem Schaubild sicher bewertet werden.