1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$g(x) = 2\sqrt{x} + 3 - 1 = 2\sqrt{x} + 2$$. 2. **Definitionsbereich bestimmen:** Die Wurzelfunktion $$\sqrt{x}$$ ist nur für $$x \geq 0$$ definiert, da die Quadratwurzel aus negativen Zahlen im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist. Also gilt für $$g(x)$$: $$ x \geq 0 $$ Somit ist der maximale Definitionsbereich von $$g$$: $$ D_g = [0, \infty) $$ 3. **Graph von $$g$$ aus $$f(x) = \sqrt{x}$$:** Die Funktion $$g(x)$$ entsteht aus $$f(x) = \sqrt{x}$$ durch folgende Transformationen: - Multiplikation mit 2: $$2\sqrt{x}$$ streckt den Graphen in y-Richtung um den Faktor 2. - Verschiebung um $$+3 - 1 = +2$$ nach oben. Formel: $$g(x) = 2f(x) + 2$$. 4. **Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:** - Schnittpunkt mit y-Achse: Setze $$x=0$$: $$ g(0) = 2\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2 $$ Also Schnittpunkt bei $$(0, 2)$$. - Schnittpunkt mit x-Achse: Setze $$g(x) = 0$$: $$ 2\sqrt{x} + 2 = 0 \\ 2\sqrt{x} = -2 \\ \sqrt{x} = -1 $$ Da $$\sqrt{x} \geq 0$$ für alle $$x \geq 0$$, gibt es keine Lösung. Also kein Schnittpunkt mit der x-Achse. 5. **Wertebereich von $$g$$:** Da $$\sqrt{x} \geq 0$$, gilt: $$ g(x) = 2\sqrt{x} + 2 \geq 2 $$ Wertebereich: $$ W_g = [2, \infty) $$ 6. **Umkehrfunktion von $$g$$:** Setze $$y = g(x) = 2\sqrt{x} + 2$$. Schritt 1: Isoliere $$\sqrt{x}$$: $$ y - 2 = 2\sqrt{x} \\ \sqrt{x} = \frac{y - 2}{2} $$ Schritt 2: Quadriere beide Seiten: $$ x = \left(\frac{y - 2}{2}\right)^2 = \frac{(y - 2)^2}{4} $$ Schritt 3: Vertausche $$x$$ und $$y$$ für die Umkehrfunktion: $$ g^{-1}(x) = \frac{(x - 2)^2}{4} $$ Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich von $$g$$, also: $$ D_{g^{-1}} = [2, \infty) $$ 7. **Ableitung von $$g$$:** $$ g(x) = 2\sqrt{x} + 2 = 2x^{1/2} + 2 $$ Ableitung: $$ g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + 0 = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} $$ 8. **Steigung an $$x=5$$:** $$ g'(5) = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}4472 $$ 9. **Steigungswinkel $$\alpha$$ an $$x=5$$:** $$ \tan(\alpha) = g'(5) = 0{,}4472 \\ \alpha = \arctan(0{,}4472) \approx 24{,}0^\circ $$ **Endergebnis:** - Definitionsbereich: $$[0, \infty)$$ - Wertebereich: $$[2, \infty)$$ - Umkehrfunktion: $$g^{-1}(x) = \frac{(x - 2)^2}{4}$$ mit $$x \geq 2$$ - Ableitung: $$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$ - Steigung bei $$x=5$$: $$\approx 0{,}4472$$ - Steigungswinkel bei $$x=5$$: $$\approx 24{,}0^\circ$$