1. Das Problem lautet: Zeichne die Funktion $f(x) = x e^x$ und bestimme die ersten Ableitungen. 2. Die Funktion ist $f(x) = x e^x$. Um die Ableitungen zu finden, verwenden wir die Produktregel: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ wobei $u(x) = x$ und $v(x) = e^x$. 3. Erste Ableitung: $$f'(x) = \frac{d}{dx}[x] \cdot e^x + x \cdot \frac{d}{dx}[e^x] = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + x e^x = (x+1)e^x$$ 4. Zweite Ableitung: $$f''(x) = \frac{d}{dx}[(x+1)e^x] = \frac{d}{dx}[x+1] \cdot e^x + (x+1) \cdot \frac{d}{dx}[e^x] = 1 \cdot e^x + (x+1) e^x = e^x + (x+1) e^x = (x+2) e^x$$ 5. Dritte Ableitung: $$f'''(x) = \frac{d}{dx}[(x+2)e^x] = 1 \cdot e^x + (x+2) e^x = (x+3) e^x$$ 6. Zusammenfassung: - $f(x) = x e^x$ - $f'(x) = (x+1) e^x$ - $f''(x) = (x+2) e^x$ - $f'''(x) = (x+3) e^x$ Diese Ableitungen zeigen, dass jede Ableitung die Form $(x + n) e^x$ hat, wobei $n$ die Ableitungsordnung ist. Die Funktion und ihre Ableitungen können nun gezeichnet werden, um das Verhalten zu visualisieren.