1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktionenschar $f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}ax^2$ auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. 2. **Nullstellen finden:** Setze $f_a(x) = 0$: $$\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}ax^2 = 0$$ Faktorisieren: $$\frac{1}{4}x^2(x - 3a) = 0$$ Daraus folgen die Nullstellen: $$x_1 = 0, \quad x_2 = 3a$$ 3. **Extremstellen finden:** Berechne die erste Ableitung: $$f_a'(x) = \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}ax$$ Setze $f_a'(x) = 0$: $$\frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}ax = 0$$ Faktorisieren: $$\frac{3}{4}x(x - 2a) = 0$$ Also: $$x = 0, \quad x = 2a$$ 4. **Art der Extremstellen bestimmen:** Berechne die zweite Ableitung: $$f_a''(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}a$$ Setze die Extremstellen ein: - Für $x=0$: $$f_a''(0) = \frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2}a = -\frac{3}{2}a$$ - Für $x=2a$: $$f_a''(2a) = \frac{3}{2} \cdot 2a - \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}a$$ Wenn $f_a''(x) > 0$, ist es ein Tiefpunkt, wenn $f_a''(x) < 0$, ein Hochpunkt. 5. **Wendepunkte finden:** Berechne die dritte Ableitung: $$f_a'''(x) = \frac{3}{2}$$ Da $f_a'''(x)$ konstant und ungleich null ist, gibt es genau einen Wendepunkt, wo $f_a''(x) = 0$: $$\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}a = 0 \Rightarrow x = a$$ 6. **Zusammenfassung:** - Nullstellen: $x=0$ und $x=3a$ - Extremstellen: $x=0$ (Hoch- oder Tiefpunkt abhängig von $a$), $x=2a$ (Hoch- oder Tiefpunkt abhängig von $a$) - Wendepunkt: $x=a$ **Endergebnis:** Die Funktion $f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{4}ax^2$ hat Nullstellen bei $x=0$ und $x=3a$, Extremstellen bei $x=0$ und $x=2a$ mit der Art abhängig vom Vorzeichen von $a$, und einen Wendepunkt bei $x=a$.