1. Das Problem: Wir wollen verstehen, wie man ganz einfach einen Grenzwert berechnet. 2. Definition: Ein Grenzwert beschreibt, welchen Wert eine Funktion oder Folge annähert, wenn die Eingabe gegen einen bestimmten Punkt strebt. 3. Wichtige Regeln: - Wenn $f(x)$ stetig an der Stelle $a$ ist, dann gilt: $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ - Für Brüche: Wenn Zähler und Nenner gegen 0 gehen, kann man oft kürzen oder L'Hôpital anwenden. 4. Beispiel: Berechne $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ 5. Schritt 1: Einsetzen von $x=2$ ergibt $$\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$$, eine unbestimmte Form. 6. Schritt 2: Faktorisiere den Zähler: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ 7. Schritt 3: Kürze den gemeinsamen Faktor: $$\frac{\cancel{(x - 2)}(x + 2)}{\cancel{(x - 2)}} = x + 2$$ 8. Schritt 4: Setze $x=2$ in den gekürzten Ausdruck ein: $$2 + 2 = 4$$ 9. Antwort: Der Grenzwert ist 4. Das ist eine einfache Methode: Wenn direktes Einsetzen nicht funktioniert, versuche zu faktorisieren und zu kürzen.