1. **Problem statement:** Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{0,5}{x + b} + c$ mit Definitionsmenge $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-b\}$ und den Parametern $b,c \in \mathbb{R}$. Die Hyperbel hat eine vertikale Asymptote bei $x=1$ und eine horizontale Asymptote bei $y=1$. Gesucht sind: a) Die Werte von $b$ und $c$ anhand der Asymptoten. b) Die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Geraden $h$, die durch die Punkte $(-2,-1)$ und $(1,2)$ verläuft. 2. **Bestimmung von $b$ und $c$ anhand der Asymptoten:** - Vertikale Asymptote bei $x=1$ bedeutet, dass der Nenner der gebrochenrationalen Funktion bei $x=1$ null wird: $$x + b = 0 \Rightarrow 1 + b = 0 \Rightarrow b = -1$$ - Horizontale Asymptote bei $y=1$ bedeutet, dass für $x \to \pm \infty$ gilt: $$f(x) \to c = 1$$ 3. **Funktionsterm mit bestimmten Parametern:** $$f(x) = \frac{0,5}{x - 1} + 1$$ 4. **Bestimmung der Geradengleichung $h$:** Die Gerade $h$ geht durch die Punkte $(-2,-1)$ und $(1,2)$. - Steigung $m$ berechnen: $$m = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$$ - Geradengleichung in Punkt-Steigungs-Form: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ Setze $x_1 = -2$, $y_1 = -1$: $$y + 1 = 1(x + 2) \Rightarrow y = x + 1$$ 5. **Schnittpunkte von $f$ und $h$ bestimmen:** Setze $f(x) = h(x)$: $$\frac{0,5}{x - 1} + 1 = x + 1$$ Subtrahiere 1 auf beiden Seiten: $$\frac{0,5}{x - 1} = x$$ Multipliziere beide Seiten mit $x - 1$ (wobei $x \neq 1$): $$\cancel{(x - 1)} \cdot \frac{0,5}{\cancel{x - 1}} = x \cdot (x - 1)$$ $$0,5 = x^2 - x$$ Bringe alle Terme auf eine Seite: $$x^2 - x - 0,5 = 0$$ 6. **Löse die quadratische Gleichung:** Mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Hier: $a=1$, $b=-1$, $c=-0,5$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,5)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$ 7. **Berechne die $y$-Werte der Schnittpunkte:** Setze $x$ in $y = x + 1$ ein: Für $x_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$: $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$$ Für $x_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$: $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$ **Endergebnis:** - $b = -1$, $c = 1$ - Schnittpunkte: $$\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)$$ und $$\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)$$