1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a < b$, on a $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}.$$ **Formule et règles importantes** : La fonction logarithme naturel $\ln x$ est strictement croissante et concave sur $(0, +\infty)$. On utilisera l'inégalité de la moyenne intégrale et les propriétés de la dérivée. **Étapes** : 1. Considérons la fonction $f(x) = \ln x$ définie sur $[a,b]$. 2. Par le théorème des accroissements finis, il existe $c \in (a,b)$ tel que $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\ln b - \ln a}{b - a} = \frac{\ln(\frac{b}{a})}{b - a}.$$ 3. Or, $f'(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $(0, +\infty)$, donc $$\frac{1}{b} = f'(b) \leq f'(c) \leq f'(a) = \frac{1}{a}.$$ 4. En multipliant par $b - a > 0$, on obtient $$\frac{b - a}{b} \leq \ln\left(\frac{b}{a}\right) \leq \frac{b - a}{a}.$$ 5. Comme $f'(x)$ est strictement décroissante, les inégalités sont strictes, donc $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}.$$ --- 2. **Énoncé du problème 2** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a \leq b < \frac{\pi}{2}$, $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}.$$ **Formule et règles importantes** : La fonction $\tan x$ est dérivable sur $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ avec $\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Cette dérivée est strictement croissante sur cet intervalle. **Étapes** : 1. Appliquons le théorème des accroissements finis à $f(x) = \tan x$ sur $[a,b]$ : il existe $c \in (a,b)$ tel que $$f'(c) = \frac{\tan b - \tan a}{b - a}.$$ 2. Comme $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ est croissante sur $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, on a $$\frac{1}{\cos^2 a} \leq \frac{1}{\cos^2 c} \leq \frac{1}{\cos^2 b}.$$ 3. En multipliant par $b - a \geq 0$, on obtient $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}.$$ --- 3. **Énoncé du problème 3** : Calculer les limites suivantes : 3.1. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin x)}{(\pi - 2x)^2}$ 3.2. $\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2}$ 3.3. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)}$ --- **Calculs détaillés :** 3.1. Posons $x \to \frac{\pi}{2}$, alors $\sin x \to 1$ et $\ln(\sin x) \to 0$. - Utilisons la substitution $t = \frac{\pi}{2} - x$, donc $t \to 0$. - On a $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cos t$. - Donc $$\frac{\ln(\sin x)}{(\pi - 2x)^2} = \frac{\ln(\cos t)}{(\pi - 2(\frac{\pi}{2} - t))^2} = \frac{\ln(\cos t)}{(\pi - \pi + 2t)^2} = \frac{\ln(\cos t)}{(2t)^2} = \frac{\ln(\cos t)}{4t^2}.$$ - Pour $t \to 0$, $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$ donc $$\ln(\cos t) = \ln\left(1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right) \sim -\frac{t^2}{2}.$$ - Ainsi $$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(\cos t)}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{t^2}{2}}{4t^2} = -\frac{1}{8}.$$ 3.2. On a $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2} = \lim_{x \to a} \frac{(\sinh x - \sinh a)(\sinh x + \sinh a)}{(x - a)(x + a)}.$$ - Factorisons et simplifions : $$= \lim_{x \to a} \frac{\sinh x - \sinh a}{x - a} \cdot \frac{\sinh x + \sinh a}{x + a}.$$ - La première limite est la dérivée de $\sinh x$ en $a$ : $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh x - \sinh a}{x - a} = \cosh a.$$ - La deuxième limite est $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh x + \sinh a}{x + a} = \frac{\sinh a + \sinh a}{a + a} = \frac{2 \sinh a}{2a} = \frac{\sinh a}{a}.$$ - Donc $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2} = \cosh a \cdot \frac{\sinh a}{a}.$$ 3.3. Pour $x \to 0$, on utilise les développements limités : - $\tan kx \sim kx$ pour $k=7$ ou $2$. - Donc $$\ln(\tan 7x) \sim \ln(7x) = \ln 7 + \ln x,$$ $$\ln(\tan 2x) \sim \ln(2x) = \ln 2 + \ln x.$$ - Ainsi $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln 7 + \ln x}{\ln 2 + \ln x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x + \ln 7}{\ln x + \ln 2}.$$ - Comme $\ln x \to -\infty$, on divise numérateur et dénominateur par $\ln x$ : $$= \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{\ln 7}{\ln x}}{1 + \frac{\ln 2}{\ln x}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1.$$ --- **Réponses finales :** 1. $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}.$$ 2. $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}.$$ 3.1. $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin x)}{(\pi - 2x)^2} = -\frac{1}{8}.$$ 3.2. $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2} = \cosh a \cdot \frac{\sinh a}{a}.$$ 3.3. $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)} = 1.$$