1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a < b$, on a : $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}$$ 2. **Formule et règles importantes** : Utilisons la fonction $f(x) = \ln x$ qui est strictement croissante et concave sur $(0, +\infty)$. Par le théorème des accroissements finis, il existe $c \in (a,b)$ tel que : $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) = \frac{1}{c}$$ 3. **Travail intermédiaire** : $$\ln\left(\frac{b}{a}\right) = \ln b - \ln a = (b - a) \frac{1}{c}$$ Comme $a < c < b$, on a : $$\frac{1}{b} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$$ Donc : $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}$$ 4. **Conclusion** : La double inégalité est démontrée. 1. **Énoncé du problème 2** : Montrer que pour tout $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $0 < a \leq b < \frac{\pi}{2}$, on a : $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}$$ 2. **Formule et règles importantes** : Considérons $g(x) = \tan x$, dérivable sur $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ avec $g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Par le théorème des accroissements finis, il existe $d \in (a,b)$ tel que : $$\frac{\tan b - \tan a}{b - a} = g'(d) = \frac{1}{\cos^2 d}$$ 3. **Travail intermédiaire** : Comme $\cos x$ est décroissante sur $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, on a : $$\cos a \geq \cos d \geq \cos b$$ Donc : $$\frac{1}{\cos^2 a} \leq \frac{1}{\cos^2 d} \leq \frac{1}{\cos^2 b}$$ D'où : $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}$$ 4. **Conclusion** : La double inégalité est démontrée. 1. **Énoncé du problème 3.1** : Calculer $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin x)}{(\pi - 2x)^2}$$ 2. **Travail intermédiaire** : Posons $t = \frac{\pi}{2} - x$, donc $x \to \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow t \to 0$. On a : $$\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2}$$ Donc : $$\ln(\sin x) = \ln\left(1 - \frac{t^2}{2}\right) \approx -\frac{t^2}{2}$$ Aussi : $$\pi - 2x = \pi - 2\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = 2t$$ Donc : $$ (\pi - 2x)^2 = (2t)^2 = 4t^2$$ 3. **Calcul de la limite** : $$\lim_{t \to 0} \frac{-\frac{t^2}{2}}{4t^2} = \lim_{t \to 0} -\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$$ 1. **Énoncé du problème 3.2** : Calculer $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2}$$ 2. **Travail intermédiaire** : Utilisons la factorisation : $$\sinh^2 x - \sinh^2 a = (\sinh x - \sinh a)(\sinh x + \sinh a)$$ 3. **Calcul de la limite** : On peut écrire : $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2} = \lim_{x \to a} \frac{(\sinh x - \sinh a)(\sinh x + \sinh a)}{(x - a)(x + a)}$$ En divisant numérateur et dénominateur par $(x - a)$ : $$= \lim_{x \to a} \frac{\sinh x - \sinh a}{x - a} \times \frac{\sinh x + \sinh a}{x + a}$$ Par continuité et définition de la dérivée : $$= \cosh a \times \frac{2 \sinh a}{2a} = \cosh a \times \frac{\sinh a}{a}$$ 1. **Énoncé du problème 3.3** : Calculer $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)}$$ 2. **Travail intermédiaire** : Pour $x$ proche de 0, $\tan kx \approx kx$, donc $$\ln(\tan kx) \approx \ln(kx) = \ln k + \ln x$$ 3. **Calcul de la limite** : $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln 7 + \ln x}{\ln 2 + \ln x}$$ Comme $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$, on divise numérateur et dénominateur par $\ln x$ : $$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\ln 7}{\ln x} + 1}{\frac{\ln 2}{\ln x} + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$$ **Réponses finales :** 1. $$\frac{b - a}{b} < \ln\left(\frac{b}{a}\right) < \frac{b - a}{a}$$ 2. $$\frac{b - a}{\cos^2 a} \leq \tan b - \tan a \leq \frac{b - a}{\cos^2 b}$$ 3.1 $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln(\sin x)}{(\pi - 2x)^2} = -\frac{1}{8}$$ 3.2 $$\lim_{x \to a} \frac{\sinh^2 x - \sinh^2 a}{x^2 - a^2} = \cosh a \times \frac{\sinh a}{a}$$ 3.3 $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\tan 7x)}{\ln(\tan 2x)} = 1$$