1. Énoncé du problème : On étudie la suite de terme général $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n$$. 2. Première inégalité à démontrer : Pour tout $x \in [0,1[$, montrer que $$-\frac{x}{1-x} \leq \ln(1-x) \leq -x$$. 3. Rappel des propriétés de la fonction logarithme : La fonction $\ln(1-x)$ est définie et dérivable sur $[0,1[$, et on peut utiliser les développements et inégalités classiques. 4. Preuve de la borne supérieure : - On sait que pour $x \in [0,1[$, $\ln(1-x) \leq -x$ car la fonction $f(x) = \ln(1-x) + x$ satisfait $f(0)=0$ et $f'(x) = -\frac{1}{1-x} + 1 = \frac{x}{1-x} \geq 0$, donc $f$ est croissante, donc $f(x) \geq f(0) = 0$. 5. Preuve de la borne inférieure : - Montrons que $\ln(1-x) \geq -\frac{x}{1-x}$. - Considérons $g(x) = \ln(1-x) + \frac{x}{1-x}$. - Calculons $g'(x) = -\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{- (1-x) + 1}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2} \geq 0$ pour $x \in [0,1[$. - Comme $g(0) = 0$, $g$ est croissante donc $g(x) \geq 0$ ce qui donne l'inégalité. 6. Deuxième partie : Montrer que $$u_n \leq \frac{e}{e-1}$$. 7. Analyse de $u_n$ : - On a $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n = \sum_{k=1}^n e^{n \ln(\frac{k}{n})} = \sum_{k=1}^n e^{n \ln(1 - \frac{n-k}{n})}$$. 8. Utilisation de l'inégalité sur $\ln(1-x)$ avec $x = \frac{n-k}{n} \in [0,1[$ : - $$\ln(1 - x) \leq -x$$ donc $$\left(\frac{k}{n}\right)^n = e^{n \ln(1-x)} \leq e^{-n x} = e^{-(n-k)}$$. 9. Donc, $$u_n \leq \sum_{k=1}^n e^{-(n-k)} = \sum_{j=0}^{n-1} e^{-j} = \frac{1 - e^{-n}}{1 - e^{-1}} = \frac{1 - e^{-n}}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{1 - e^{-n}}{\frac{e-1}{e}} = \frac{e}{e-1}(1 - e^{-n}).$$ 10. Comme $e^{-n} > 0$, on a $$u_n \leq \frac{e}{e-1}.$$