1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \geq 0$. 2. **Formule et rappel :** On suppose que $g$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$, et on veut prouver que $g(x)$ est toujours positif ou nul. 3. **Démonstration :** a. Considérons l'expression de $g(x)$ (non fournie explicitement, mais on peut supposer qu'elle est liée à $x + e^{-x} - 1$ d'après la question suivante). b. Montrons que $x + e^{-x} \geq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. c. Posons $g(x) = x + e^{-x} - 1$. 4. **Étude de $g(x)$ :** a. Calculons la dérivée : $$g'(x) = 1 - (-e^{-x}) = 1 + e^{-x} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ b. La dérivée est strictement positive, donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 5. **Valeur en 0 :** $$g(0) = 0 + e^{0} - 1 = 0 + 1 - 1 = 0.$$ 6. **Conclusion :** Puisque $g$ est strictement croissante et $g(0) = 0$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$g(x) \geq g(0) = 0.$$ Donc, $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \quad g(x) \geq 0.}$$ 7. **Conséquence :** Puisque $g(x) = x + e^{-x} - 1 \geq 0$, on a $$x + e^{-x} \geq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$