1. Problem: Izračunaj integral $$\int_0^\infty \frac{\arctan(xy)}{y(1+y^2)} \, dy$$ za $$x \in \mathbb{R}$$. 2. Formula and important rules: Uporabili bomo lastnosti funkcije arctan in integralov ter znano rešitev, ki vključuje znak funkcije $$x$$, konstanto $$\pi$$ in naravni logaritem. 3. Postopek: - Funkcija $$\arctan(xy)$$ je odvisna od produkta $$xy$$. - Integral je definiran na intervalu od 0 do neskončnosti. - Rešitev je znana in je: $$\text{sgn}(x) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \ln(|x| + 1)$$ 4. Razlaga: - Funkcija $$\text{sgn}(x)$$ vrne znak $$x$$, torej 1, če je $$x > 0$$, -1, če je $$x < 0$$, in 0, če je $$x = 0$$. - Faktor $$\frac{\pi}{2}$$ izhaja iz vrednosti arctan na neskončnosti. - Logaritem $$\ln(|x| + 1)$$ zajema odvisnost od absolutne vrednosti $$x$$. 5. Končni odgovor: $$\int_0^\infty \frac{\arctan(xy)}{y(1+y^2)} \, dy = \text{sgn}(x) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \ln(|x| + 1)$$