1. Problemstellung: Berechne das bestimmte Integral \(\int_{-1}^{1} (x^3 - 2x + 1) \, dx\).\n\n2. Formel und Regeln: Das bestimmte Integral einer Funktion \(f(x)\) von \(a\) bis \(b\) ist definiert als \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\), wobei \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist. Wichtige Regeln sind Lineareigenschaft des Integrals und Potenzregel für Stammfunktionen.\n\n3. Stammfunktion bestimmen:\n\n\[F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + x + C\]\n\n4. Integral berechnen:\n\n\[\int_{-1}^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(-1)\]\n\n5. Werte einsetzen:\n\n\[F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^2 + 1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}\]\n\n\[F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^2 + (-1) = \frac{1}{4} - 1 - 1 = -\frac{7}{4}\]\n\n6. Differenz bilden:\n\n\[F(1) - F(-1) = \frac{1}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 2\]\n\n7. Ergebnis: Das bestimmte Integral ist \(2\).