1. Das Problem lautet: Bestimmen Sie die obere Grenze $a$ des Integrals $$\int_2^a t^2 \, dt = 39$$ mit $a > 0$. 2. Die Formel für das bestimmte Integral einer Potenzfunktion $t^n$ ist $$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$$. Für $n=2$ gilt also $$\int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C$$. 3. Wir berechnen das bestimmte Integral von 2 bis $a$: $$\int_2^a t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_2^a = \frac{a^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{a^3}{3} - \frac{8}{3}$$ 4. Setze das Integral gleich 39: $$\frac{a^3}{3} - \frac{8}{3} = 39$$ 5. Multipliziere beide Seiten mit 3, um den Bruch zu eliminieren: $$\cancel{3} \times \left( \frac{a^3}{\cancel{3}} - \frac{8}{3} \right) = 39 \times 3$$ $$a^3 - 8 = 117$$ 6. Addiere 8 zu beiden Seiten: $$a^3 = 117 + 8 = 125$$ 7. Ziehe die dritte Wurzel, um $a$ zu bestimmen: $$a = \sqrt[3]{125} = 5$$ Antwort: Die obere Grenze $a$ ist $5$.