1. **Problemstellung:** Berechne das Integral $$\int \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} \, dy$$ mit $a > 0$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir verwenden eine trigonometrische Substitution für Ausdrücke der Form $$\sqrt{a^2 - y^2}$$, typischerweise $$y = a \sin(\theta)$$. 3. **Substitution:** Setze $$y = a \sin(\theta)$$, dann gilt: $$dy = a \cos(\theta) d\theta$$ 4. **Ausdruck unter der Wurzel:** $$\sqrt{a^2 - y^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(\theta)} = \sqrt{a^2 (1 - \sin^2(\theta))} = a \cos(\theta)$$ 5. **Bruch im Integral:** $$\frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} = \frac{a \cos(\theta)}{a \sin(\theta)} = \cot(\theta)$$ 6. **Integral umschreiben:** $$\int \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} dy = \int \cot(\theta) \cdot a \cos(\theta) d\theta = a \int \cot(\theta) \cos(\theta) d\theta$$ 7. **Vereinfachung:** Da $$\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$, gilt: $$a \int \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \cos(\theta) d\theta = a \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta$$ 8. **Integral vereinfachen:** Schreibe $$\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$$: $$a \int \frac{1 - \sin^2(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta = a \int \left( \frac{1}{\sin(\theta)} - \sin(\theta) \right) d\theta = a \int (\csc(\theta) - \sin(\theta)) d\theta$$ 9. **Integrale einzeln berechnen:** $$\int \csc(\theta) d\theta = \ln \left| \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) \right| + C$$ $$\int \sin(\theta) d\theta = -\cos(\theta) + C$$ 10. **Gesamtergebnis:** $$a \left( \ln \left| \tan \left( \frac{\theta}{2} \right) \right| + \cos(\theta) \right) + C$$ 11. **Rücksubstitution:** Da $$y = a \sin(\theta)$$, gilt $$\sin(\theta) = \frac{y}{a}$$ und $$\theta = \arcsin \left( \frac{y}{a} \right)$$. Außerdem: $$\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{a}$$ Für $$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right)$$ verwenden wir die Halbwinkel-Formel: $$\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)} = \frac{\frac{y}{a}}{1 + \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{a}} = \frac{y}{a + \sqrt{a^2 - y^2}}$$ 12. **Endergebnis:** $$\int \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} dy = a \ln \left| \frac{y}{a + \sqrt{a^2 - y^2}} \right| + \sqrt{a^2 - y^2} + C$$ **Antwort:** $$\boxed{\int \frac{\sqrt{a^2 - y^2}}{y} dy = a \ln \left| \frac{y}{a + \sqrt{a^2 - y^2}} \right| + \sqrt{a^2 - y^2} + C}$$