1. **Problemstellung:** Berechne das Integral $$\int \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} \, dy$$ mit $a > 0$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wir verwenden die Substitution und Standardintegrale für Ausdrücke der Form $\sqrt{y^2 - a^2}$. 3. **Substitution:** Setze $y = a \sec(\theta)$, dann gilt: $$dy = a \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$$ 4. **Ausdruck unter der Wurzel:** $$\sqrt{y^2 - a^2} = \sqrt{a^2 \sec^2(\theta) - a^2} = \sqrt{a^2 (\sec^2(\theta) - 1)} = a \tan(\theta)$$ 5. **Bruch im Integral:** $$\frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} = \frac{a \tan(\theta)}{a \sec(\theta)} = \frac{\tan(\theta)}{\sec(\theta)} = \sin(\theta)$$ 6. **Integral umschreiben:** $$\int \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} dy = \int \sin(\theta) \cdot a \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta = a \int \sin(\theta) \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$$ 7. **Vereinfachung:** $$\sin(\theta) \sec(\theta) = \sin(\theta) \cdot \frac{1}{\cos(\theta)} = \tan(\theta)$$ Also: $$a \int \tan(\theta) \tan(\theta) d\theta = a \int \tan^2(\theta) d\theta$$ 8. **Integral von $\tan^2(\theta)$:** $$\int \tan^2(\theta) d\theta = \int (\sec^2(\theta) - 1) d\theta = \tan(\theta) - \theta + C$$ 9. **Ergebnis in $\theta$:** $$a (\tan(\theta) - \theta) + C$$ 10. **Rücksubstitution:** Da $y = a \sec(\theta)$, gilt $\sec(\theta) = \frac{y}{a}$ und somit: $$\theta = \arcsec\left(\frac{y}{a}\right)$$ Außerdem: $$\tan(\theta) = \sqrt{\sec^2(\theta) - 1} = \sqrt{\left(\frac{y}{a}\right)^2 - 1} = \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a}$$ 11. **Endergebnis:** $$\int \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} dy = a \left( \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{a} - \arcsec\left(\frac{y}{a}\right) \right) + C = \sqrt{y^2 - a^2} - a \, \arcsec\left(\frac{y}{a}\right) + C$$ **Antwort:** $$\boxed{\int \frac{\sqrt{y^2 - a^2}}{y} dy = \sqrt{y^2 - a^2} - a \arcsec\left(\frac{y}{a}\right) + C}$$