1. **Énoncé du problème :** Calculer $I_1 = \int_0^1 \frac{e^{1\cdot x}}{e^x + 1} dx$, puis $I_0 + I_1$, et en déduire $I_0$. 2. **Formule et remarques importantes :** On a $I_n = \int_0^1 \frac{e^{nx}}{e^x + 1} dx$. On utilisera la propriété que $I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{e^{nx} + e^{(n+1)x}}{e^x + 1} dx = \int_0^1 e^{nx} dx$ car $\frac{e^{nx} + e^{(n+1)x}}{e^x + 1} = e^{nx}$. 3. **Calcul de $I_0$ et $I_1$ :** - $I_0 = \int_0^1 \frac{1}{e^x + 1} dx$ - $I_1 = \int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} dx$ 4. **Calcul de $I_0 + I_1$ :** $$I_0 + I_1 = \int_0^1 \left( \frac{1}{e^x + 1} + \frac{e^x}{e^x + 1} \right) dx = \int_0^1 1 dx = 1$$ 5. **En déduire $I_0$ :** Calculons $I_1$ séparément : $$I_1 = \int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{e^x + 1} \right) dx = \int_0^1 1 dx - \int_0^1 \frac{1}{e^x + 1} dx = 1 - I_0$$ Donc, $I_0 + I_1 = I_0 + (1 - I_0) = 1$, ce qui confirme le résultat précédent. 6. **Conclusion :** On a $I_0 + I_1 = 1$ et $I_1 = 1 - I_0$. --- **Réponse finale :** $$I_0 + I_1 = 1 \quad \text{et} \quad I_1 = 1 - I_0$$ Le problème demande seulement ces calculs pour la première question.