1. Das Problem lautet: Bestimmen Sie die Kostenfunktion $K(x)$ aus der gegebenen Ableitung $K'(x)$ bzw. $K''(x)$ und den Anfangsbedingungen. 2. Die Kostenfunktion $K(x)$ erhält man durch Integration der Ableitungen. 3. a) Gegeben: $K'(x) = 0{,}06 \cdot x^2 - x + 21$, $K(0) = -600$ 4. Integrieren von $K'(x)$: $$K(x) = \int (0{,}06 x^2 - x + 21) \, dx = 0{,}06 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 21x + C = 0{,}02 x^3 - 0{,}5 x^2 + 21 x + C$$ 5. Anfangsbedingung $K(0) = -600$ einsetzen: $$K(0) = 0 + 0 + 0 + C = -600 \Rightarrow C = -600$$ 6. Ergebnis a): $$K(x) = 0{,}02 x^3 - 0{,}5 x^2 + 21 x - 600$$ 7. b) Gegeben: $K'(x) = 0{,}2 x + 4$, $K(10) = 15$ 8. Integrieren von $K'(x)$: $$K(x) = \int (0{,}2 x + 4) \, dx = 0{,}2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = 0{,}1 x^2 + 4 x + C$$ 9. Anfangsbedingung $K(10) = 15$ einsetzen: $$K(10) = 0{,}1 \cdot 100 + 40 + C = 10 + 40 + C = 50 + C = 15 \Rightarrow C = 15 - 50 = -35$$ 10. Ergebnis b): $$K(x) = 0{,}1 x^2 + 4 x - 35$$ 11. c) Gegeben: $K''(x) = 0{,}18 x - 2$, $K'(10) = 9$, $K(10) = 280$ 12. Integrieren von $K''(x)$ um $K'(x)$ zu erhalten: $$K'(x) = \int (0{,}18 x - 2) \, dx = 0{,}18 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C_1 = 0{,}09 x^2 - 2 x + C_1$$ 13. Bedingung $K'(10) = 9$ einsetzen: $$9 = 0{,}09 \cdot 100 - 20 + C_1 = 9 - 20 + C_1 = -11 + C_1 \Rightarrow C_1 = 20$$ 14. Also: $$K'(x) = 0{,}09 x^2 - 2 x + 20$$ 15. Integrieren von $K'(x)$ um $K(x)$ zu erhalten: $$K(x) = \int (0{,}09 x^2 - 2 x + 20) \, dx = 0{,}09 \cdot \frac{x^3}{3} - x^2 + 20 x + C_2 = 0{,}03 x^3 - x^2 + 20 x + C_2$$ 16. Bedingung $K(10) = 280$ einsetzen: $$280 = 0{,}03 \cdot 1000 - 100 + 200 + C_2 = 30 - 100 + 200 + C_2 = 130 + C_2 \Rightarrow C_2 = 150$$ 17. Ergebnis c): $$K(x) = 0{,}03 x^3 - x^2 + 20 x + 150$$