1. Problema: Studierea convergenței seriei alternante \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\) și criteriile de convergență ale lui Leibniz. 2. Criteriile de convergență ale lui Leibniz pentru o serie alternantă \(\sum (-1)^n a_n\) sunt: - \(a_n\) este o succesiune monoton descrescătoare: \(a_{n+1} \leq a_n\) pentru tot \(n\). - \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, seria este convergentă. 3. Aplicăm aceste criterii pentru seria dată: \[ a_n = \frac{n}{n+1} \] Observăm că \(a_n\) este pozitivă și: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0 \] Deci, condiția a doua nu este îndeplinită. 4. Concluzie: Seria \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\) nu converge conform criteriului lui Leibniz deoarece termenii nu tind la zero. 5. Studiul convergenței absolute: Seria absolută este \(\sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^n \frac{n}{n+1}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\). Observăm că \(\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\), deci termenii nu tind la zero, iar seria diverge. 6. Concluzie finală: Seria nu este absolut convergentă și nici convergentă condiționat. Răspuns: Seria \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}\) este divergentă.