1. **Problemstellung:** Wir sollen die Funktion $$f(x) = \frac{1}{10}x^4 + x^2 - 2$$ auf lokale Extrempunkte untersuchen und anschließend den Graphen skizzieren. 2. **Formel und Vorgehensweise:** Lokale Extrempunkte finden wir, indem wir die erste Ableitung $$f'(x)$$ bestimmen, diese gleich Null setzen und die Lösungen (kritische Punkte) auf Vorzeichenwechsel der Ableitung prüfen. 3. **Ableitung berechnen:** $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{10}x^4 + x^2 - 2\right) = \frac{4}{10}x^3 + 2x = \frac{2}{5}x^3 + 2x$$ 4. **Kritische Punkte bestimmen:** Setze $$f'(x) = 0$$: $$\frac{2}{5}x^3 + 2x = 0$$ Faktor aus: $$x\left(\frac{2}{5}x^2 + 2\right) = 0$$ 5. **Lösungen:** $$x = 0$$ oder $$\frac{2}{5}x^2 + 2 = 0$$ Die zweite Gleichung hat keine reellen Lösungen, da $$\frac{2}{5}x^2 = -2$$ nicht möglich ist. 6. **Vorzeichenwechsel prüfen:** Teste $$f'(x)$$ links und rechts von $$x=0$$: - Für $$x = -1$$: $$f'(-1) = \frac{2}{5}(-1)^3 + 2(-1) = -\frac{2}{5} - 2 = -\frac{2}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{12}{5} < 0$$ - Für $$x = 1$$: $$f'(1) = \frac{2}{5}(1)^3 + 2(1) = \frac{2}{5} + 2 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5} > 0$$ 7. **Schlussfolgerung:** Da $$f'(x)$$ von negativ zu positiv wechselt bei $$x=0$$, liegt hier ein lokales Minimum vor. 8. **Funktionswert am Extrempunkt:** $$f(0) = \frac{1}{10}0^4 + 0^2 - 2 = -2$$ 9. **Zusammenfassung:** - Lokaler Tiefpunkt bei $$S(0|-2)$$ 10. **Graph skizzieren:** - Der Graph hat bei $$x=0$$ ein lokales Minimum bei $$y=-2$$. - Für große $$|x|$$ dominiert der Term $$\frac{1}{10}x^4$$, der positiv ist, also steigt der Graph für $$x \to \pm \infty$$ stark an.