1. **Problem statement:** Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x$ auf lokale Extrempunkte. 2. **Formel und Regeln:** Lokale Extrempunkte finden wir, indem wir die erste Ableitung $f'(x)$ bestimmen und deren Nullstellen untersuchen. Ein lokales Maximum oder Minimum liegt vor, wenn $f'(x) = 0$ und $f''(x)$ an dieser Stelle ungleich null ist (Vorzeichenwechsel von $f'$). Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn $f'(x) = 0$ aber kein Vorzeichenwechsel von $f'$ vorliegt. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x + 3 = -x^2 - 2x + 3$$ $$f''(x) = -2x - 2$$ 4. **Nullstellen von $f'(x)$ finden:** $$-x^2 - 2x + 3 = 0$$ Multiplizieren mit $-1$: $$\cancel{-}x^2 - 2x + 3 = \cancel{-}0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$$ Faktorisieren: $$(x + 3)(x - 1) = 0$$ Also sind die Nullstellen: $$x = -3, \quad x = 1$$ 5. **Vorzeichenwechsel von $f'$ prüfen:** - Für $x = -3$: $$f''(-3) = -2(-3) - 2 = 6 - 2 = 4 > 0$$ Da $f''(-3) > 0$, liegt hier ein lokales Minimum vor. - Für $x = 1$: $$f''(1) = -2(1) - 2 = -2 - 2 = -4 < 0$$ Da $f''(1) < 0$, liegt hier ein lokales Maximum vor. 6. **Funktionswerte an den Extremstellen:** $$f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^3 - (-3)^2 + 3(-3) = -\frac{1}{3}(-27) - 9 - 9 = 9 - 9 - 9 = -9$$ $$f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 3(1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{5}{3}$$ 7. **Ergebnis:** - Lokales Minimum bei $x = -3$ mit $f(-3) = -9$ - Lokales Maximum bei $x = 1$ mit $f(1) = \frac{5}{3}$ 8. **Graph skizzieren:** Der Graph hat ein lokales Minimum bei $(-3, -9)$ und ein lokales Maximum bei $(1, \frac{5}{3})$. Zwischen diesen Punkten steigt und fällt die Funktion entsprechend.