1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = (x - 1)^2 \cdot e^{2x}$$ und ein Punkt $$P(u|f(u))$$ mit $$u \in [0,1]$$ auf dem Graphen. Gesucht ist der Wert von $$u$$, für den der Flächeninhalt $$A$$ des Dreiecks mit den Eckpunkten auf den Achsen und dem Punkt $$P$$ maximal ist, sowie der maximale Flächeninhalt. 2. **Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks:** Das Dreieck hat die Basis auf der x-Achse von 0 bis $$u$$ und die Höhe entspricht $$f(u)$$. Der Flächeninhalt ist daher: $$ A(u) = \frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u) = \frac{1}{2} u (u - 1)^2 e^{2u} $$ 3. **Ableitung zur Bestimmung des Maximums:** Um das Maximum von $$A(u)$$ zu finden, berechnen wir die erste Ableitung $$A'(u)$$ und setzen sie gleich 0: $$ A(u) = \frac{1}{2} u (u - 1)^2 e^{2u} $$ Wir verwenden das Produktregel für $$u (u - 1)^2 e^{2u}$$: Sei $$g(u) = u$$, $$h(u) = (u - 1)^2$$, $$k(u) = e^{2u}$$. Dann gilt: $$ A(u) = \frac{1}{2} g(u) h(u) k(u) $$ Ableitung: $$ A'(u) = \frac{1}{2} \left(g'(u) h(u) k(u) + g(u) h'(u) k(u) + g(u) h(u) k'(u)\right) $$ Berechnung der einzelnen Ableitungen: $$ g'(u) = 1 $$ $$ h(u) = (u - 1)^2 \Rightarrow h'(u) = 2(u - 1) $$ $$ k(u) = e^{2u} \Rightarrow k'(u) = 2 e^{2u} $$ Einsetzen: $$ A'(u) = \frac{1}{2} \left(1 \cdot (u - 1)^2 e^{2u} + u \cdot 2(u - 1) e^{2u} + u (u - 1)^2 2 e^{2u}\right) $$ Faktor $$e^{2u}$$ ausklammern: $$ A'(u) = \frac{1}{2} e^{2u} \left((u - 1)^2 + 2u(u - 1) + 2u (u - 1)^2\right) $$ 4. **Vereinfachung des Terms in Klammern:** $$ (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 $$ $$ 2u(u - 1) = 2u^2 - 2u $$ $$ 2u (u - 1)^2 = 2u (u^2 - 2u + 1) = 2u^3 - 4u^2 + 2u $$ Summe: $$ (u^2 - 2u + 1) + (2u^2 - 2u) + (2u^3 - 4u^2 + 2u) = 2u^3 + (u^2 + 2u^2 - 4u^2) + (-2u - 2u + 2u) + 1 $$ $$ = 2u^3 - u^2 - 2u + 1 $$ 5. **Ableitung vollständig:** $$ A'(u) = \frac{1}{2} e^{2u} (2u^3 - u^2 - 2u + 1) $$ 6. **Nullstellen von $$A'(u)$$ bestimmen:** Da $$e^{2u} > 0$$ für alle $$u$$, gilt: $$ 2u^3 - u^2 - 2u + 1 = 0 $$ 7. **Lösung der kubischen Gleichung:** Wir prüfen rationale Kandidaten $$u = 0, 1$$ etc. Für $$u=1$$: $$2(1)^3 - 1^2 - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0$$ Also ist $$u=1$$ eine Nullstelle. Polynom durch $$u-1$$ teilen: $$ 2u^3 - u^2 - 2u + 1 = (u - 1)(2u^2 + u - 1) $$ 8. **Quadratische Gleichung lösen:** $$ 2u^2 + u - 1 = 0 $$ Mit Mitternachtsformel: $$ u = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} $$ Lösungen: $$ u_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ $$ u_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $$ Da $$u \in [0,1]$$, ist $$u=0.5$$ relevant. 9. **Kandidaten für Maximum:** $$u=0.5$$ und $$u=1$$ (Randpunkt) prüfen. 10. **Flächeninhalt an den Kandidaten berechnen:** Für $$u=0.5$$: $$ A(0.5) = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (0.5 - 1)^2 \cdot e^{2 \cdot 0.5} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot ( -0.5)^2 \cdot e^{1} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot e $$ $$ = 0.0625 e \approx 0.0625 \times 2.71828 = 0.1699 $$ Für $$u=1$$: $$ A(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 - 1)^2 \cdot e^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0 \cdot e^{2} = 0 $$ 11. **Ergebnis:** Der maximale Flächeninhalt ist bei $$u=0.5$$ mit: $$ A_{max} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (0.5 - 1)^2 \cdot e^{1} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 0.25 \cdot e = 0.0625 e \approx 0.1699 $$