1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie mithilfe des Monotoniesatzes, ob die Funktionen c) $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$$ im Intervall $$I = ]-2; 2[$$ d) $$f(x) = x^3 - 3x + \frac{1}{2}$$ im Intervall $$I = ]-1; 1[$$ streng monoton zunehmend oder abnehmend sind. 2. **Monotoniesatz:** Eine Funktion $$f$$ ist streng monoton zunehmend in $$I$$, wenn $$f'(x) > 0$$ für alle $$x \in I$$ gilt. Sie ist streng monoton abnehmend, wenn $$f'(x) < 0$$ für alle $$x \in I$$ gilt. 3. **Ableitungen berechnen:** c) $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - 4x \right) = x^2 - 4$$ d) $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 - 3x + \frac{1}{2} \right) = 3x^2 - 3$$ 4. **Untersuchen der Ableitungen im jeweiligen Intervall:** c) Für $$x \in ]-2; 2[$$ gilt: $$f'(x) = x^2 - 4$$ Da $$x^2 \geq 0$$, ist $$x^2 - 4 \leq 0 - 4 = -4 < 0$$ für alle $$x$$ in diesem Intervall. Somit ist $$f'(x) < 0$$ für alle $$x \in ]-2; 2[$$. Daher ist $$f$$ streng monoton abnehmend in $$I$$. d) Für $$x \in ]-1; 1[$$ gilt: $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$ Da $$x^2 < 1$$ für alle $$x \in ]-1; 1[$$, ist $$x^2 - 1 < 0$$. Also ist $$f'(x) = 3(x^2 - 1) < 0$$ für alle $$x$$ in diesem Intervall. Daher ist $$f$$ streng monoton abnehmend in $$I$$. 5. **Zusammenfassung:** - c) $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$$ ist streng monoton abnehmend auf $$]-2; 2[$$. - d) $$f(x) = x^3 - 3x + \frac{1}{2}$$ ist streng monoton abnehmend auf $$]-1; 1[$$.