1. **Problem:** Untersuchen Sie, ob die Funktion $f$ im angegebenen Intervall streng monoton zu- oder abnehmend ist. 2. **Formel:** Die Monotonie einer Funktion wird durch das Vorzeichen der ersten Ableitung $f'(x)$ bestimmt: - Wenn $f'(x) > 0$ für alle $x$ im Intervall, ist $f$ streng monoton steigend. - Wenn $f'(x) < 0$ für alle $x$ im Intervall, ist $f$ streng monoton fallend. 3. **Teil a:** $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 8x$, Intervall $I = ]-\infty; -16[$ 4. Ableitung berechnen: $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^2 + 8x\right) = \frac{1}{4} \cdot 2x + 8 = \frac{1}{2}x + 8$$ 5. Vorzeichen von $f'(x)$ im Intervall $]-\infty; -16[$ untersuchen: Setze $f'(x) = 0$: $$\frac{1}{2}x + 8 = 0 \Rightarrow x = -16$$ 6. Für $x < -16$ ist $\frac{1}{2}x + 8 < 0$, da $\frac{1}{2}x$ negativ und größer im Betrag als 8 ist. 7. Also ist $f'(x) < 0$ für alle $x$ in $]-\infty; -16[$, somit ist $f$ in diesem Intervall streng monoton fallend. --- 8. **Teil b:** $f(x) = x^3 - 12x + 2$, Intervall $I = ]-2; 2[$ 9. Ableitung berechnen: $$f'(x) = 3x^2 - 12$$ 10. Vorzeichen von $f'(x)$ im Intervall $]-2; 2[$ untersuchen: Setze $f'(x) = 0$: $$3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$ 11. Für $x$ in $]-2; 2[$ gilt $x^2 < 4$, also $$f'(x) = 3x^2 - 12 < 3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0$$ 12. Somit ist $f'(x) < 0$ für alle $x$ in $]-2; 2[$, also ist $f$ in diesem Intervall streng monoton fallend. --- 13. **Zusammenfassung:** - a) $f$ ist streng monoton fallend auf $]-\infty; -16[$. - b) $f$ ist streng monoton fallend auf $]-2; 2[$. --- 14. **Fehleranalyse Teil 7a:** Behauptung: $f(x) = x^2 + 1$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend, weil $f(x) > 0$. 15. Fehler: Die Monotonie hängt vom Vorzeichen der Ableitung ab, nicht vom Funktionswert. 16. Ableitung: $$f'(x) = 2x$$ 17. $f'(x) > 0$ nur für $x > 0$, für $x < 0$ ist $f'(x) < 0$, also ist $f$ nicht streng monoton steigend auf ganz $\mathbb{R}$. --- 18. **Fehleranalyse Teil 7b:** Gegebene Funktion: $f(x) = x^3 - 5x^2$ 19. Ableitung laut Angabe: $$f'(x) = 3x^2 - 10x$$ 20. Überprüfung der Ableitung: $$\frac{d}{dx}(x^3 - 5x^2) = 3x^2 - 10x$$ korrekt. 21. Bewertung der Monotonie: - $f'(0) = 0$ - $f'(1) = 3(1)^2 - 10(1) = 3 - 10 = -7 < 0$ 22. Fehler: Die Aussage "für $x > 0$ streng monoton fallend" ist falsch, da $f'(x)$ für manche $x > 0$ auch positiv sein kann. 23. Nullstellen von $f'(x)$ bestimmen: $$3x^2 - 10x = 0 \Rightarrow x(3x - 10) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ oder } x = \frac{10}{3} \approx 3.33$$ 24. Für $0 < x < \frac{10}{3}$ ist $f'(x) < 0$, für $x > \frac{10}{3}$ ist $f'(x) > 0$. 25. Also ist $f$ nur streng monoton fallend im Intervall $(0, \frac{10}{3})$, nicht für alle $x > 0$. --- **Endergebnis:** - Aufgabe 6a: $f$ ist streng monoton fallend auf $]-\infty; -16[$. - Aufgabe 6b: $f$ ist streng monoton fallend auf $]-2; 2[$. - Aufgabe 7a: Fehler in der Begründung, Monotonie hängt von $f'(x)$ ab, nicht von $f(x)$. - Aufgabe 7b: Fehler in der Aussage, $f$ ist nicht für alle $x > 0$ streng monoton fallend, nur bis $x = \frac{10}{3}$.