1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ hinsichtlich ihres Monotonie- und Krümmungsverhaltens. 2. **Monotonieverhalten:** Dazu bestimmen wir die erste Ableitung $f'(x)$, da das Vorzeichen von $f'(x)$ angibt, ob die Funktion steigt oder fällt. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x - 1) = 3x^2 - 6x + 2$$ 3. **Nullstellen der ersten Ableitung:** Setze $f'(x) = 0$ um kritische Punkte zu finden: $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$ Teile durch 3: $$\cancel{3}x^2 - \cancel{6}x + \cancel{2} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$$ 4. **Löse die quadratische Gleichung:** $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - \frac{8}{3}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{12}{3} - \frac{8}{3}}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{4}{3}}}{2}$$ $$= \frac{2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 5. **Monotonieintervalle:** - Für $x < 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$ ist $f'(x) > 0$ (steigend). - Für $1 - \frac{1}{\sqrt{3}} < x < 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ ist $f'(x) < 0$ (fallend). - Für $x > 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ ist $f'(x) > 0$ (steigend). 6. **Krümmungsverhalten:** Bestimme die zweite Ableitung $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x + 2) = 6x - 6$$ 7. **Wendestellen:** Setze $f''(x) = 0$: $$6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$$ 8. **Krümmungsintervalle:** - Für $x < 1$ ist $f''(x) < 0$ (konkav). - Für $x > 1$ ist $f''(x) > 0$ (konvex). **Zusammenfassung:** - Die Funktion ist steigend auf $(-\infty, 1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$, fällt auf $(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}, 1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$ und steigt wieder auf $(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)$. - Die Funktion hat eine Wendestelle bei $x=1$, mit Krümmungswechsel von konkav zu konvex.