1. **Problemstellung:** Wir sollen das Monotonieverhalten der Funktion $f(x)=x^4-6x^2+1$ untersuchen und die Nullstellen bestimmen. 2. **Monotonieverhalten:** Dazu berechnen wir die erste Ableitung $f'(x)$, da die Monotonie von der Steigung abhängt. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 6x^2 + 1) = 4x^3 - 12x$$ 3. **Kritische Punkte:** Setze $f'(x) = 0$ um kritische Punkte zu finden: $$4x^3 - 12x = 0$$ $$4x(x^2 - 3) = 0$$ 4. **Löse die Gleichung:** $$4x = 0 \Rightarrow x=0$$ $$x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$ 5. **Monotonieintervalle:** Wir untersuchen das Vorzeichen von $f'(x)$ in den Intervallen $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$, $(\sqrt{3}, \infty)$. - Für $x < -\sqrt{3}$: Wähle $x=-2$, $f'(-2) = 4(-8) - 12(-2) = -32 + 24 = -8 < 0$ (fallend) - Für $-\sqrt{3} < x < 0$: Wähle $x=-1$, $f'(-1) = 4(-1) - 12(-1) = -4 + 12 = 8 > 0$ (steigend) - Für $0 < x < \sqrt{3}$: Wähle $x=1$, $f'(1) = 4(1) - 12(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ (fallend) - Für $x > \sqrt{3}$: Wähle $x=2$, $f'(2) = 4(8) - 12(2) = 32 - 24 = 8 > 0$ (steigend) 6. **Zusammenfassung Monotonieverhalten:** - fallend auf $(-\infty, -\sqrt{3})$ - steigend auf $(-\sqrt{3}, 0)$ - fallend auf $(0, \sqrt{3})$ - steigend auf $(\sqrt{3}, \infty)$ 7. **Nullstellen:** Setze $f(x) = 0$: $$x^4 - 6x^2 + 1 = 0$$ Setze $y = x^2$, dann: $$y^2 - 6y + 1 = 0$$ 8. **Löse quadratische Gleichung:** $$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$$ 9. **Bestimme $x$:** $$x^2 = 3 + 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$$ $$x^2 = 3 - 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$$ 10. **Endergebnis Nullstellen:** $$x = \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}, \quad x = \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$$