1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Parabel $$y = -(x-2)^2 + 4$$ und die Gerade $$y = mx$$. Aufgabe 14a: Für $$m=0{,}5$$ sollen die Flächeninhalte der blau und rot gefärbten Flächen berechnet werden. Aufgabe 14b: Bestimmen Sie den Wert von $$m$$, für den die blaue Fläche gleich groß wie die rote Fläche ist. Aufgabe 14d: Bestimmen Sie alle Werte von $$m \geq 0$$, für die die beiden Graphen im ersten Quadranten keine Fläche einschließen. --- 2. **Wichtige Grundlagen:** - Die Fläche zwischen zwei Funktionen $$f(x)$$ und $$g(x)$$ auf dem Intervall $$[a,b]$$ berechnet sich durch $$\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$. - Schnittpunkte der Parabel und der Geraden bestimmen die Integrationsgrenzen. --- ### Aufgabe 14a (für $$m=0{,}5$$): 3. **Schnittpunkte bestimmen:** Setze $$-(x-2)^2 + 4 = 0{,}5x$$: $$-(x^2 - 4x + 4) + 4 = 0{,}5x$$ $$-x^2 + 4x - 4 + 4 = 0{,}5x$$ $$-x^2 + 4x = 0{,}5x$$ $$-x^2 + 4x - 0{,}5x = 0$$ $$-x^2 + 3{,}5x = 0$$ $$x(-x + 3{,}5) = 0$$ Schnittpunkte bei $$x=0$$ und $$x=3{,}5$$. 4. **Flächen berechnen:** - Blaue Fläche zwischen $$x=0$$ und $$x=3{,}5$$ ist $$\int_0^{3{,}5} (-(x-2)^2 + 4 - 0{,}5x) \, dx$$. - Rote Fläche zwischen $$x=3{,}5$$ und $$x=4$$ ist $$\int_{3{,}5}^4 (0{,}5x - (-(x-2)^2 + 4)) \, dx$$. 5. **Integral der blauen Fläche:** $$\int_0^{3{,}5} (-(x-2)^2 + 4 - 0{,}5x) \, dx = \int_0^{3{,}5} (-x^2 + 4x - 4 + 4 - 0{,}5x) \, dx = \int_0^{3{,}5} (-x^2 + 3{,}5x) \, dx$$ 6. **Integral berechnen:** $$\int_0^{3{,}5} (-x^2 + 3{,}5x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3{,}5x^2}{2}\right]_0^{3{,}5} = \left(-\frac{(3{,}5)^3}{3} + \frac{3{,}5 (3{,}5)^2}{2}\right) - 0$$ $$= -\frac{42{,}875}{3} + \frac{3{,}5 \times 12{,}25}{2} = -14{,}2917 + 21{,}4375 = 7{,}1458$$ 7. **Integral der roten Fläche:** $$\int_{3{,}5}^4 (0{,}5x - (-(x-2)^2 + 4)) \, dx = \int_{3{,}5}^4 (0{,}5x + (x-2)^2 - 4) \, dx$$ $$= \int_{3{,}5}^4 (0{,}5x + x^2 - 4x + 4 - 4) \, dx = \int_{3{,}5}^4 (x^2 - 3{,}5x) \, dx$$ 8. **Integral berechnen:** $$\int_{3{,}5}^4 (x^2 - 3{,}5x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3{,}5x^2}{2}\right]_{3{,}5}^4$$ $$= \left(\frac{64}{3} - \frac{3{,}5 \times 16}{2}\right) - \left(\frac{42{,}875}{3} - \frac{3{,}5 \times 12{,}25}{2}\right)$$ $$= (21{,}3333 - 28) - (14{,}2917 - 21{,}4375) = -6{,}6667 - (-7{,}1458) = 0{,}4791$$ --- ### Aufgabe 14b (Flächen gleich groß): 9. **Schnittpunkte für allgemeines $$m$$:** $$-(x-2)^2 + 4 = mx$$ $$-x^2 + 4x - 4 + 4 = mx$$ $$-x^2 + 4x = mx$$ $$-x^2 + 4x - mx = 0$$ $$-x^2 + (4 - m)x = 0$$ $$x(-x + 4 - m) = 0$$ Schnittpunkte bei $$x=0$$ und $$x=4 - m$$. 10. **Flächeninhalte:** - Blaue Fläche: $$\int_0^{4-m} (-(x-2)^2 + 4 - mx) \, dx$$ - Rote Fläche: $$\int_{4-m}^4 (mx - (-(x-2)^2 + 4)) \, dx$$ 11. **Blaue Fläche vereinfachen:** $$-(x-2)^2 + 4 - mx = -x^2 + 4x - 4 + 4 - mx = -x^2 + (4 - m)x$$ 12. **Rote Fläche vereinfachen:** $$mx - (-(x-2)^2 + 4) = mx + x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 + (m - 4)x$$ 13. **Integrale:** Blaue Fläche: $$\int_0^{4-m} (-x^2 + (4 - m)x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{(4 - m)x^2}{2}\right]_0^{4-m}$$ Rote Fläche: $$\int_{4-m}^4 (x^2 + (m - 4)x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{(m - 4)x^2}{2}\right]_{4-m}^4$$ 14. **Gleichsetzen der Flächen:** $$\left[-\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4 - m)(4-m)^2}{2}\right] = \left[\frac{4^3}{3} + \frac{(m - 4)4^2}{2}\right] - \left[\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(m - 4)(4-m)^2}{2}\right]$$ 15. **Nach $$m$$ auflösen:** Nach Vereinfachung ergibt sich die Gleichung: $$\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4 - m)(4-m)^2}{2} = \frac{64}{3} + 8(m - 4) - \frac{(4-m)^3}{3} - \frac{(m - 4)(4-m)^2}{2}$$ Addiere $$\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(m - 4)(4-m)^2}{2}$$ auf beiden Seiten: $$2 \left(\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4 - m)(4-m)^2}{2}\right) = \frac{64}{3} + 8(m - 4)$$ 16. **Faktorisieren:** $$2 \left(\frac{(4-m)^3}{3} + \frac{(4 - m)(4-m)^2}{2}\right) = 2(4-m)^3 \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) = 2(4-m)^3 \frac{5}{6} = \frac{5}{3}(4-m)^3$$ 17. **Gleichung:** $$\frac{5}{3}(4-m)^3 = \frac{64}{3} + 8(m - 4)$$ Multipliziere mit 3: $$5(4-m)^3 = 64 + 24(m - 4)$$ $$5(4-m)^3 = 64 + 24m - 96$$ $$5(4-m)^3 = 24m - 32$$ 18. **Setze $$t = 4 - m$$:** $$5t^3 = 24(4 - t) - 32 = 96 - 24t - 32 = 64 - 24t$$ $$5t^3 + 24t - 64 = 0$$ 19. **Löse kubische Gleichung numerisch:** Probieren mit $$t=2$$: $$5(8) + 24(2) - 64 = 40 + 48 - 64 = 24 > 0$$ Probieren mit $$t=1{,}5$$: $$5(3{,}375) + 24(1{,}5) - 64 = 16{,}875 + 36 - 64 = -11{,}125 < 0$$ Zwischen 1,5 und 2 liegt die Lösung. Näherungsweise etwa $$t \approx 1{,}7$$. 20. **Berechne $$m$$:** $$m = 4 - t \approx 4 - 1{,}7 = 2{,}3$$ --- ### Aufgabe 14d (keine Fläche im ersten Quadranten): 21. **Bedingung:** Die Graphen schneiden sich bei $$x=0$$ und $$x=4 - m$$. Für $$m \geq 4$$ ist $$4 - m \leq 0$$, also kein zweiter Schnittpunkt im ersten Quadranten. 22. **Fazit:** Für $$m \geq 4$$ schließen die Graphen im ersten Quadranten keine Fläche ein. --- **Endergebnisse:** - 14a) Blaue Fläche $$\approx 7{,}15$$, rote Fläche $$\approx 0{,}48$$ für $$m=0{,}5$$. - 14b) $$m \approx 2{,}3$$ für gleiche Flächen. - 14d) Für $$m \geq 4$$ keine Fläche im ersten Quadranten.