1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$h(x) = (ax^2 + bx + c) \cdot e^x$$ mit $$a,b,c \in \mathbb{R}$$ und $$a \neq 0$$. Der Graph schneidet die x-Achse bei $$x = -1$$ und $$x = 2$$, sowie die y-Achse bei $$y = -1$$. Außerdem hat der Graph ein Minimum bei etwa $$(1, -3)$$. 2. **Formel und wichtige Regeln:** - Nullstellen von $$h(x)$$ sind die Werte von $$x$$, für die $$h(x) = 0$$ gilt. - Da $$e^x > 0$$ für alle $$x$$, müssen die Nullstellen von $$h(x)$$ durch die Nullstellen des Polynoms $$ax^2 + bx + c$$ bestimmt werden. - Die Ableitung $$h'(x)$$ wird benötigt, um das Minimum zu bestimmen. 3. **Nullstellen bestimmen:** $$h(x) = 0 \Rightarrow (ax^2 + bx + c) e^x = 0 \Rightarrow ax^2 + bx + c = 0$$ Gegeben sind die Nullstellen $$x = -1$$ und $$x = 2$$, also: $$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \Rightarrow a - b + c = 0$$ $$a(2)^2 + b(2) + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = 0$$ 4. **Wert an der y-Achse:** Der Graph schneidet die y-Achse bei $$x=0$$ mit $$h(0) = -1$$: $$h(0) = (a \cdot 0 + b \cdot 0 + c) e^0 = c = -1$$ 5. **Gleichungssystem aufstellen:** Aus Schritt 3 und 4: $$\begin{cases} a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ c = -1 \end{cases}$$ Einsetzen von $$c = -1$$: $$\begin{cases} a - b - 1 = 0 \\ 4a + 2b - 1 = 0 \end{cases}$$ 6. **Ableitung von $$h(x)$$:** $$h(x) = (ax^2 + bx + c) e^x$$ $$h'(x) = \frac{d}{dx}[(ax^2 + bx + c) e^x] = (2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x = e^x (2ax + b + ax^2 + bx + c)$$ $$= e^x (ax^2 + (2a + b) x + b + c)$$ 7. **Minimum bei $$x=1$$:** $$h'(1) = 0 \Rightarrow e^1 (a(1)^2 + (2a + b)(1) + b + c) = 0$$ Da $$e^1 \neq 0$$, gilt: $$a + 2a + b + b + c = 0 \Rightarrow 3a + 2b + c = 0$$ 8. **Gleichungssystem erweitern:** $$\begin{cases} a - b - 1 = 0 \\ 4a + 2b - 1 = 0 \\ 3a + 2b - 1 = 0 \end{cases}$$ 9. **Lösen des Gleichungssystems:** Aus der ersten Gleichung: $$a = b + 1$$ Einsetzen in die zweite: $$4(b + 1) + 2b - 1 = 0 \Rightarrow 4b + 4 + 2b - 1 = 0 \Rightarrow 6b + 3 = 0 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$$ Dann: $$a = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$$ Prüfung mit dritter Gleichung: $$3a + 2b - 1 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 - 1 = -\frac{1}{2} \neq 0$$ Da die dritte Gleichung nicht erfüllt ist, überprüfen wir die Ableitungskorrektur: 10. **Korrektur der Ableitung:** Die Ableitung ist: $$h'(x) = e^x (2ax + b) + (ax^2 + bx + c) e^x = e^x (ax^2 + (2a + b) x + b + c)$$ Für $$x=1$$: $$a(1)^2 + (2a + b)(1) + b + c = a + 2a + b + b + c = 3a + 2b + c$$ Setze $$c = -1$$: $$3a + 2b - 1 = 0$$ 11. **Lösung des Systems mit korrigierter dritter Gleichung:** $$\begin{cases} a - b - 1 = 0 \\ 4a + 2b - 1 = 0 \\ 3a + 2b - 1 = 0 \end{cases}$$ Subtrahiere die dritte von der zweiten: $$(4a + 2b - 1) - (3a + 2b - 1) = 0 \Rightarrow a = 0$$ Dies widerspricht $$a \neq 0$$. 12. **Fazit:** Die Annahme, dass das Minimum exakt bei $$x=1$$ liegt, ist nur ungefähr. Wir lösen das System aus den ersten beiden Gleichungen und $$c = -1$$: $$a - b = 1$$ $$4a + 2b = 1$$ Multipliziere die erste Gleichung mit 2: $$2a - 2b = 2$$ Addiere zu zweiter Gleichung: $$4a + 2b = 1$$ $$2a - 2b = 2$$ Addiert: $$6a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ Dann: $$\frac{1}{2} - b = 1 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$$ 13. **Endergebnis:** $$a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}, c = -1$$