1) Étudier la parité de $f(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$. - Une fonction $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ et impaire si $f(-x) = -f(x)$. - Calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = -x + \ln \left| \frac{-x-1}{-x+1} \right| = -x + \ln \left| \frac{-(x+1)}{-(x-1)} \right| = -x + \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right|$$ - Or, $\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| = - \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$. - Donc, $$f(-x) = -x - \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = -\left(x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) = -f(x)$$ - Conclusion : $f$ est impaire. 2) Étudier $f(x) = \frac{x}{\ln(1-x)}$. - Domaine : $1-x > 0 \Rightarrow x < 1$ et $\ln(1-x) \neq 0 \Rightarrow 1-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$. - Parité : $$f(-x) = \frac{-x}{\ln(1+x)}$$ - $f(-x) \neq f(x)$ ni $-f(x)$, donc $f$ n'est ni paire ni impaire. 3) Étudier $f(x) = x(1 - \ln x)^2$. - Domaine : $x > 0$. - Parité non définie sur $\mathbb{R}$ car domaine restreint. 4) Étudier $f(x) = -\frac{x}{2} + \ln \left( \frac{x-1}{x} \right)$. - Domaine : $x > 1$ (car $\frac{x-1}{x} > 0$). - Parité non définie sur $\mathbb{R}$. 5) Étudier la parité de $f(x) = - \frac{2}{1+x^2} + \ln \left(1 + \frac{1}{x^2} \right)$. - Domaine : $x \neq 0$. - Calcul de $f(-x)$ : $$f(-x) = - \frac{2}{1+(-x)^2} + \ln \left(1 + \frac{1}{(-x)^2} \right) = - \frac{2}{1+x^2} + \ln \left(1 + \frac{1}{x^2} \right) = f(x)$$ - Conclusion : $f$ est paire. 6) Étudier $f(x) = \ln x - 2\sqrt{x} + 2$. - Domaine : $x > 0$. - Parité non définie. 7) Étudier $f(x) = (x+1) \ln(x+1)$. - Domaine : $x > -1$. - Parité non définie. 8) Étudier $f(x) = - \frac{1}{4x (\ln x)^3}$. - Domaine : $x > 0$, $\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. - Parité non définie. 9) Étudier $f(x) = 1 + \ln \left( \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1} \right)$. - Simplifions l'intérieur du logarithme : $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1} = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 1}$$ - Domaine : $x^2 + 1 > 0$ toujours vrai. - Parité : $$f(-x) = 1 + \ln \left( \frac{( -x + 1)^2}{(-x)^2 + 1} \right) = 1 + \ln \left( \frac{(1 - x)^2}{x^2 + 1} \right)$$ - Comme $(1-x)^2 = (x-1)^2$, pas de symétrie simple. - Conclusion : $f$ n'est ni paire ni impaire. --- Résumé des parités : - $f_1$ impaire - $f_5$ paire - Les autres fonctions n'ont pas de parité définie sur leur domaine. Pour chaque fonction, tracer la courbe dans un repère orthonormé en respectant le domaine et les propriétés de parité.