1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion des Flussbodens $$y(x) = \frac{x^2}{5} - 5$$. Ein Rechteck soll so in den Fluss eingesetzt werden, dass es symmetrisch zur y-Achse ist, mit den Punkten B und D auf der Parabel und der oberen Seite auf der Höhe $$y=0$$. Gesucht sind die Punkte A, B, C, D, die den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks bestimmen. 2. **Flächenfunktion aufstellen:** Das Rechteck ist symmetrisch, die Breite ist $$2x$$, wobei $$x$$ der Abstand von Punkt C (rechts unten) zur Flussmitte ist. Die Höhe des Rechtecks ist der Abstand von $$y=0$$ bis zur Parabel, also $$h = 0 - y(x) = -\left(\frac{x^2}{5} - 5\right) = 5 - \frac{x^2}{5}$$. Die Flächenfunktion lautet daher: $$ f(x) = \text{Breite} \times \text{Höhe} = 2x \cdot \left(5 - \frac{x^2}{5}\right) = 2x \left(5 - \frac{x^2}{5}\right) $$ 3. **Flächenfunktion vereinfachen:** $$ f(x) = 2x \left(5 - \frac{x^2}{5}\right) = 2x \cdot 5 - 2x \cdot \frac{x^2}{5} = 10x - \frac{2x^3}{5} $$ 4. **Maximale Fläche bestimmen:** Ableitung von $$f(x)$$ berechnen: $$ f'(x) = 10 - \frac{6x^2}{5} $$ Setze $$f'(x) = 0$$ für Extremstellen: $$ 10 - \frac{6x^2}{5} = 0 \\ 10 = \frac{6x^2}{5} \\ 10 \cdot 5 = 6x^2 \\ 50 = 6x^2 \\ x^2 = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \\ x = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $$ 5. **Überprüfung auf Maximum:** Zweite Ableitung: $$ f''(x) = -\frac{12x}{5}$$ Für $$x > 0$$ ist $$f''(x) < 0$$, also Maximum bei $$x = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$. 6. **Maximale Fläche berechnen:** $$ f\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = 10 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{5} \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^3 $$ Berechnung des zweiten Terms: $$ \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{125 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{375\sqrt{3}}{27} = \frac{125\sqrt{3}}{9} $$ Also: $$ f\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{50\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{5} \cdot \frac{125\sqrt{3}}{9} = \frac{50\sqrt{3}}{3} - \frac{250\sqrt{3}}{45} = \frac{50\sqrt{3}}{3} - \frac{50\sqrt{3}}{9} = \frac{150\sqrt{3} - 50\sqrt{3}}{9} = \frac{100\sqrt{3}}{9} \approx 19.24 $$ 7. **Größe des Rechtecks:** Breite: $$ 2x = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 $$ Höhe: $$ 5 - \frac{x^2}{5} = 5 - \frac{25/3}{5} = 5 - \frac{25}{15} = 5 - \frac{5}{3} = \frac{15 - 5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 $$ 8. **Tiefgang prüfen:** Maximale Tiefe des Rechtecks ist Höhe $$\approx 3.33$$ Meter. Ein Schiff mit 3 Meter Tiefgang benötigt mindestens 0.3 Meter Sicherheitsabstand, also mindestens $$3 + 0.3 = 3.3$$ Meter Höhe. Da $$3.33 > 3.3$$, kann das Schiff mit Sicherheitsabstand passieren. **Endergebnis:** - $$x = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89$$ - Maximale Fläche $$\approx 19.24$$ - Rechteckmaße: Breite $$\approx 5.77$$, Höhe $$\approx 3.33$$ - Schiff mit 3 m Tiefgang kann mit 0.3 m Sicherheitsabstand passieren.