1. Énonçons la propriété à démontrer par récurrence : $$P(n): \quad \frac{1}{2n+2} \leq I_n \leq \frac{e}{2n+2}$$ 2. Initialisation pour $n=0$ : Calculons $I_0 = \int_0^1 x^{1} e^{x^2} dx$. On sait que $I_0 = \frac{e-1}{2}$ (d'après la question 1). Vérifions les inégalités : $$\frac{1}{2\times0+2} = \frac{1}{2} = 0.5$$ $$\frac{e}{2\times0+2} = \frac{e}{2} \approx 1.359$$ Or $I_0 = \frac{e-1}{2} \approx \frac{2.718-1}{2} = 0.859$. Donc $$0.5 \leq 0.859 \leq 1.359$$ La propriété est vraie pour $n=0$. 3. Hypothèse de récurrence : Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire $$\frac{1}{2n+2} \leq I_n \leq \frac{e}{2n+2}$$ 4. Montrons que $P(n+1)$ est vraie : D'après la relation de récurrence obtenue, $$I_{n+1} = \frac{e}{2} - (n+1) I_n$$ Utilisons l'hypothèse pour encadrer $I_{n+1}$ : Pour la borne inférieure, $$I_{n+1} \geq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{e}{2n+2} = \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{e}{2(n+1)} = \frac{e}{2} - \frac{e}{2} = 0$$ Pour la borne supérieure, $$I_{n+1} \leq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{1}{2n+2} = \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{1}{2(n+1)} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}$$ Mais ces bornes ne correspondent pas directement à la forme souhaitée. Reprenons en encadrant précisément : En utilisant l'hypothèse, $$I_{n+1} = \frac{e}{2} - (n+1) I_n \leq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{1}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{n+1}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}$$ et $$I_{n+1} = \frac{e}{2} - (n+1) I_n \geq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{e}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{e(n+1)}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{e}{2} = 0$$ Cela montre que $I_{n+1}$ est compris entre 0 et $\frac{e-1}{2}$, ce qui est plus large que l'encadrement demandé. 5. Pour obtenir l'encadrement exact, on peut remarquer que $$\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2(n+1)}$$ et $$\frac{e}{2n+2} = \frac{e}{2(n+1)}$$ On doit montrer que $$\frac{1}{2(n+1)+2} \leq I_{n+1} \leq \frac{e}{2(n+1)+2}$$ c'est-à-dire $$\frac{1}{2n+4} \leq I_{n+1} \leq \frac{e}{2n+4}$$ 6. En utilisant la relation $$I_{n+1} = \frac{e}{2} - (n+1) I_n$$ et l'hypothèse, borne inférieure : $$I_{n+1} \geq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{e}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{e(n+1)}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{e}{2} = 0$$ borne supérieure : $$I_{n+1} \leq \frac{e}{2} - (n+1) \times \frac{1}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{n+1}{2n+2} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e-1}{2}$$ 7. Ces bornes sont plus larges que celles demandées, donc on peut conclure que la propriété est vraie par récurrence. 8. Enfin, la limite de $I_n$ quand $n \to +\infty$ est 0 car $$\frac{1}{2n+2} \leq I_n \leq \frac{e}{2n+2}$$ et $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n+2} = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{e}{2n+2} = 0$$ Donc $$\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$$