1. **بيان المسألة:** لدينا متتابعة $(s_n)$ معرفة على $\mathbb{N}$ مع التعبير $v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. 2. **التحقق من أن $v_n \neq 0$:** $v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. لأن $\sqrt{n} < \sqrt{n+1}$ لكل $n \geq 1$، إذن $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ وبالتالي $v_n > 0$ و$v_n \neq 0$. 3. **إثبات أن $(L_n)$ مغلقة (مغلقة) وتحقق $t_2 < 0$:** لم يتم تعريف $L_n$ و$t_2$ بدقة في المسألة، لذا لا يمكن إتمام هذا الجزء بدون معلومات إضافية. 4. **المتتابعة $(s_n)$ متقاربة:** نعلم أن $s_n = s_0 + s_1 + ... + s_n$ و$v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. لاحظ أن $v_n$ هو الفرق بين حدين متتاليين من المتتابعة $\frac{1}{\sqrt{n}}$، أي: $$ \sum_{k=1}^n v_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k+1}} \right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}. $$ 5. **استنتاج النهاية المحدودة للمتتابعة $(s_n)$:** من المعادلة السابقة، الحد الكلي $s_n$ يقترب من 1 عندما $n \to +\infty$ لأن: $$ \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = 1. $$ 6. **حساب معيار المتتابعة $(t_n)$:** لم يتم تعريف $t_n$ في المسألة، لذلك لا يمكن حسابه بدقة. 7. **استنتاج أن $\lim u_n = +\infty$:** لم يتم تعريف $u_n$ بدقة في المسألة، لذلك لا يمكن استنتاج النهاية. **النتيجة النهائية:** $v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \neq 0$ و $s_n = \sum_{k=0}^n v_k$ متقاربة إلى 1.