1. **Énoncé du problème :** Montrer que les suites $\left(u_n\right)_{n \geq 1}$ avec $u_n = \frac{1}{n(n+1)}$ et $\left(\frac{1}{n^2}\right)_{n \geq 1}$ sont équivalentes au voisinage de $+\infty$. En déduire la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$. 2. **Formule et règles importantes :** Deux suites $a_n$ et $b_n$ sont équivalentes au voisinage de $+\infty$ si $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1.$$ Une série $\sum a_n$ est convergente si ses termes sont équivalents à une suite dont la série est connue convergente. 3. **Calcul du rapport :** $$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n(n+1)}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n(n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1.$$ 4. **Conclusion sur l'équivalence :** Les suites $u_n$ et $\frac{1}{n^2}$ sont équivalentes au voisinage de $+\infty$. 5. **Nature de la série :** La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente (série p avec $p=2 > 1$), donc $\sum u_n$ est aussi convergente. --- 6. **Vérification de la décomposition en éléments simples :** Montrons que $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.$$ Calculons la différence : $$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}.$$ Ceci est vrai pour tout $n \geq 1$. 7. **Calcul de la somme partielle $S_n$ :** $$S_n = \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right).$$ 8. **Simplification par télescopage :** $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$ 9. **Somme de la série :** $$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1.$$ --- 10. **Nature des séries suivantes :** **a. Série $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n$** Utilisons la règle de Cauchy (racine $n$-ième) : $$a_n = \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n,$$ $$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}.$$ Pour $n \to +\infty$, dominent les termes en $e^n$ : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{3e^n + 1}{2e^n + 3} = \frac{3}{2} > 1.$$ Donc $$\limsup_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{3}{2} > 1,$$ la série diverge. **b. Série $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{(n+1)!}$** Utilisons la règle de D'Alembert (rapport) : $$a_n = \frac{n^2}{(n+1)!},$$ $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(n+2)!} \times \frac{(n+1)!}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+2) n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+2) n^2}.$$ Simplifions : $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(n+2) n^2} = \frac{\cancel{(n+1)^2}}{\cancel{n^2}} \times \frac{1}{n+2} = \frac{(n+1)^2}{n^2 (n+2)}.$$ En fait, mieux écrire : $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(n+2) n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2} \times \frac{1}{n+2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n+2}.$$ Pour $n \to +\infty$ : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1^2 \times 0 = 0 < 1,$$ la série converge absolument. --- **Réponses finales :** - La série $\sum u_n$ est convergente et sa somme vaut 1. - La série $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n$ diverge. - La série $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{(n+1)!}$ converge.