1. **Énoncé du problème :** Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une solution $\alpha$ telle que $\frac{3}{2} < \alpha < 2$, sachant que $f(2) \approx 2,37$ et $f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1,38$. 2. **Formule et rappel :** Pour montrer qu'une équation $f(x) = x$ admet une solution dans un intervalle, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Ce théorème dit que si $f$ est continue sur un intervalle $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ encadrent une valeur $c$, alors il existe au moins un $\alpha \in [a,b]$ tel que $f(\alpha) = c$. 3. **Application au problème :** Posons $g(x) = f(x) - x$. Montrons que $g$ change de signe entre $x=\frac{3}{2}$ et $x=2$. 4. Calculons $g\left(\frac{3}{2}\right) = f\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2} \approx 1,38 - 1,5 = -0,12$. 5. Calculons $g(2) = f(2) - 2 \approx 2,37 - 2 = 0,37$. 6. On a donc $g\left(\frac{3}{2}\right) < 0$ et $g(2) > 0$. 7. Par continuité de $g$ (car $f$ est continue), le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins un $\alpha \in \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ tel que $g(\alpha) = 0$, c'est-à-dire $f(\alpha) = \alpha$. **Réponse finale :** Il existe une solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = x$ telle que $$\frac{3}{2} < \alpha < 2.$$