1. **Problemstellung:** Gegeben ist der Graph der Funktion $f$ und $F$ ist eine Stammfunktion von $f$. Es soll beurteilt werden, ob die Aussagen a) bis e) wahr, falsch oder unentscheidbar sind. 2. **Wichtige Regeln:** - $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, also gilt $F'(x) = f(x)$. - Extremstellen von $F$ sind dort, wo $F'(x) = f(x) = 0$ und das Vorzeichen von $f$ wechselt. - $F$ ist monoton steigend, wenn $f(x) > 0$ ist, und monoton fallend, wenn $f(x) < 0$ ist. - Werte von $F$ an bestimmten Stellen können nur bestimmt werden, wenn Anfangswerte gegeben sind. 3. **Analyse der Aussagen:** **a) $F(x)$ hat an der Stelle $x=1$ eine Extremstelle:** - Eine Extremstelle von $F$ liegt vor, wenn $f(1) = 0$ und $f$ das Vorzeichen wechselt. - Im Graphen von $f$ ist bei $x=1$ kein Nullstellenwechsel sichtbar (der Graph von $f$ ist nicht bei $x=1$ null oder wechselt nicht das Vorzeichen). - Also: **Falsch**. **b) $F(0) = 3$:** - Ohne Anfangsbedingung für $F$ ist der Wert von $F(0)$ nicht bestimmbar. - Also: **Unentscheidbar**. **c) $F$ hat an der Stelle $x=-3$ einen Tiefpunkt:** - Ein Tiefpunkt von $F$ liegt vor, wenn $f(-3) = 0$ und $f$ von negativ zu positiv wechselt. - Im Graphen von $f$ ist bei $x=-3$ ein lokales Minimum von $f$ (also $f(-3) < 0$), aber $f(-3)$ ist nicht null. - Also: **Falsch**. **d) $F(-4) < F(-3)$:** - Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, gilt $F(-3) - F(-4) = \int_{-4}^{-3} f(x) dx$. - Im Intervall $[-4,-3]$ ist $f(x)$ negativ (Graph von $f$ liegt unter der x-Achse). - Das Integral ist negativ, also $F(-3) - F(-4) < 0 \Rightarrow F(-3) < F(-4)$. - Daraus folgt $F(-4) > F(-3)$. - Aussage ist **Falsch**. **e) $F$ ist im Bereich $-3 < x < 0$ monoton steigend:** - $F$ ist monoton steigend, wenn $f(x) > 0$. - Im Bereich $-3 < x < 0$ ist $f(x)$ überwiegend negativ (Graph von $f$ liegt unter der x-Achse). - Also ist $F$ dort monoton fallend. - Aussage ist **Falsch**. 4. **Zusammenfassung:** - a) Falsch - b) Unentscheidbar - c) Falsch - d) Falsch - e) Falsch