1. **Problem:** Bestimmen Sie eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$, d.h. eine Funktion, deren Ableitung $f(x)$ ist. 2. **Formel:** Die Stammfunktion einer Potenzfunktion $f(x) = ax^n$ ist gegeben durch $$F(x) = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + C$$ wobei $C$ eine Konstante ist. 3. **Wichtige Regeln:** - Für $f(x) = x^n$ mit $n \neq -1$ gilt die obige Formel. - Für $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ ist die Stammfunktion $F(x) = \ln|x| + C$. - Für trigonometrische Funktionen gelten spezielle Stammfunktionen. - Für Exponentialfunktionen $f(x) = ae^{bx}$ gilt $F(x) = \frac{a}{b} e^{bx} + C$. 4. **Lösungen:** a) $f(x) = 0{,}5 x^3$ $$F(x) = 0{,}5 \cdot \frac{x^{3+1}}{4} + C = \frac{0{,}5}{4} x^4 + C = 0{,}125 x^4 + C$$ b) $f(x) = \frac{1}{4} x^{-2}$ $$F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-2+1}}{-1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{4x} + C$$ c) $f(x) = \frac{2}{5} x^2$ $$F(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{2+1}}{3} + C = \frac{2}{15} x^3 + C$$ (Anmerkung: $2/5 x^{-2}$ ist vermutlich ein Tippfehler, da $2/5 x^2$ und $2/5 x^{-2}$ nicht gleich sind.) d) $f(x) = (2x + 2)^3$ Setze $u = 2x + 2$, dann $du = 2 dx$, also $dx = \frac{du}{2}$. $$F(x) = \int (2x + 2)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{(2x + 2)^4}{8} + C$$ e) $f(x) = 2 \sin(x + 1)$ $$F(x) = 2 \cdot (-\cos(x + 1)) + C = -2 \cos(x + 1) + C$$ f) $f(x) = \cos(3x)$ $$F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x) + C$$ g) $f(x) = x + 2 \sin(2x)$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(2x) + C$$ h) $f(x) = \cos(4x - \pi)$ $$F(x) = \frac{1}{4} \sin(4x - \pi) + C$$ i) $f(x) = \frac{1}{3} e^{x + 5}$ $$F(x) = \frac{1}{3} e^{x + 5} + C$$ j) $f(x) = 1 + e^{0{,}5 x}$ $$F(x) = x + 2 e^{0{,}5 x} + C$$ k) $f(x) = e^{\frac{2}{3} x + 1}$ $$F(x) = \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x + 1} + C$$ l) $f(x) = \frac{5}{2} e^{2x - 2}$ $$F(x) = \frac{5}{4} e^{2x - 2} + C$$ **Endergebnis:** Die Stammfunktionen sind jeweils die angegebenen Funktionen plus eine Konstante $C$.