1. **Problem statement:** Skizzieren Sie zum Graphen von $f$ den Graphen einer Stammfunktion $F$ für die Funktion $f$. 2. **Wichtige Formel:** Die Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ ist definiert durch: $$F'(x) = f(x)$$ Das bedeutet, $F$ ist eine Funktion, deren Ableitung $f$ ist. 3. **Teil a:** $f$ ist eine fallende Gerade, die durch den Punkt $(0,2)$ verläuft und die x-Achse bei $x=4$ schneidet. - Die Gerade $f$ hat die Form $f(x) = mx + b$. - Da $f(0) = 2$, gilt $b=2$. - Die Gerade schneidet die x-Achse bei $x=4$, also $f(4) = 0$: $$0 = m \cdot 4 + 2 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$$ - Also ist: $$f(x) = -\frac{1}{2}x + 2$$ - Die Stammfunktion $F$ erhält man durch Integration: $$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(-\frac{1}{2}x + 2\right) dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = -\frac{x^2}{4} + 2x + C$$ - $C$ ist eine Konstante, die den y-Achsenabschnitt von $F$ bestimmt. 4. **Teil b:** $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei $x=1$ und $x=3$ und einem Tiefpunkt bei ungefähr $(2,-1)$. - Die Parabel $f$ hat die Form: $$f(x) = a(x-1)(x-3)$$ - Der Tiefpunkt bei $x=2$ mit $f(2) = -1$ gibt: $$f(2) = a(2-1)(2-3) = a \cdot 1 \cdot (-1) = -a = -1 \Rightarrow a = 1$$ - Also: $$f(x) = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$$ - Stammfunktion $F$: $$F(x) = \int f(x) dx = \int (x^2 - 4x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C$$ 5. **Teil c:** $f$ verläuft links oberhalb der x-Achse, schneidet die x-Achse bei $x=-1$, hat ein Minimum bei ungefähr $(-0{,}5, -1)$, geht durch den Punkt $(0,-1)$, schneidet die x-Achse bei $x=1$ und steigt dann leicht an und flacht nach rechts hin ab. - $f$ hat Nullstellen bei $x=-1$ und $x=1$, Minimum bei $x=-0{,}5$ mit $f(-0{,}5) = -1$. - Wir vermuten eine Parabel der Form: $$f(x) = a(x+1)(x-1) = a(x^2 - 1)$$ - Setze $x=-0{,}5$ ein: $$f(-0{,}5) = a((-0{,}5)^2 - 1) = a(0{,}25 - 1) = a(-0{,}75) = -1 \Rightarrow a = \frac{-1}{-0{,}75} = \frac{4}{3}$$ - Also: $$f(x) = \frac{4}{3}(x^2 - 1) = \frac{4}{3}x^2 - \frac{4}{3}$$ - Überprüfung bei $x=0$: $$f(0) = -\frac{4}{3} \neq -1$$ - Um $f(0) = -1$ zu erfüllen, setzen wir $C$ in $F$ entsprechend. - Stammfunktion $F$: $$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{4}{3}x^2 - \frac{4}{3}\right) dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}x + C = \frac{4}{9}x^3 - \frac{4}{3}x + C$$ - Wähle $C$ so, dass $F(0) = 0$ oder ein anderer Anfangswert. **Endergebnis:** - a) $$F(x) = -\frac{x^2}{4} + 2x + C$$ - b) $$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + C$$ - c) $$F(x) = \frac{4}{9}x^3 - \frac{4}{3}x + C$$ Diese Funktionen sind die Stammfunktionen zu den gegebenen $f$-Graphen. Die Konstante $C$ bestimmt die vertikale Verschiebung der Stammfunktion.