1. Problem: Bestimme die Stammfunktion von $$\int x^{2} e^{-3x} \, dx$$. 2. Formel: Für Produkte von Polynomen und Exponentialfunktionen verwenden wir die Methode der partiellen Integration: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 3. Wähle $$u = x^{2}$$ und $$dv = e^{-3x} dx$$. 4. Berechne $$du = 2x dx$$ und $$v = \int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} e^{-3x}$$. 5. Setze in die Formel ein: $$\int x^{2} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x^{2} e^{-3x} - \int -\frac{1}{3} 2x e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x^{2} e^{-3x} + \frac{2}{3} \int x e^{-3x} dx$$ 6. Nun berechne $$\int x e^{-3x} dx$$ erneut mit partieller Integration: Wähle $$u = x$$, $$dv = e^{-3x} dx$$. 7. Dann $$du = dx$$ und $$v = -\frac{1}{3} e^{-3x}$$. 8. Also: $$\int x e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x e^{-3x} - \int -\frac{1}{3} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x e^{-3x} + \frac{1}{3} \int e^{-3x} dx$$ 9. Berechne $$\int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} e^{-3x}$$. 10. Somit: $$\int x e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x} + C$$ 11. Setze zurück in Schritt 5: $$\int x^{2} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x^{2} e^{-3x} + \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{3} x e^{-3x} - \frac{1}{9} e^{-3x}\right) + C$$ 12. Vereinfache: $$= -\frac{1}{3} x^{2} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x} + C$$ 13. Endergebnis: $$\boxed{\int x^{2} e^{-3x} dx = -\frac{1}{3} x^{2} e^{-3x} - \frac{2}{9} x e^{-3x} - \frac{2}{27} e^{-3x} + C}$$ Dies ist die Stammfunktion der gegebenen Funktion. q_count: 50