1. Ordnen Sie jeder Stammfunktion F eine zugehörige Ausgangsfunktion f zu. Finden Sie zu den übrig gebliebenen Funktionen eine Stammfunktion. - Die Ableitung einer Stammfunktion F(x) ergibt die Ausgangsfunktion f(x). - Die Ableitung von $F(x) = \frac{1}{2} x^3$ ist $f(x) = \frac{3}{2} x^2$. - Die Ableitung von $F(x) = \frac{3}{2} x^2$ ist $f(x) = 3x$. - Die Ableitung von $F(x) = \frac{1}{3} x^2$ ist $f(x) = \frac{2}{3} x$. - Die Ableitung von $F(x) = \frac{3}{2} x^3$ ist $f(x) = \frac{9}{2} x^2$ (nicht direkt gegeben, aber ähnlich zu $f(x) = \frac{9}{4} x^2$; hier ist ein Faktor zu beachten). Zuordnung: 1. $F(x) = \frac{1}{2} x^3 \Rightarrow f(x) = \frac{3}{2} x^2$ (F zu B) 2. $F(x) = \frac{3}{2} x^2 \Rightarrow f(x) = 3x$ (F zu B) 3. $F(x) = \frac{1}{3} x^2 \Rightarrow f(x) = \frac{2}{3} x$ (F zu C) 4. $F(x) = \frac{3}{2} x^3 \Rightarrow f(x) = \frac{9}{2} x^2$ (nicht exakt gegeben, aber ähnlich zu A $f(x) = \frac{9}{4} x^2$) Für die übrig gebliebenen Funktionen: - $f(x) = \frac{2}{3} x^3$ (D) hat eine Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{6} x^4 + c$. - $f(x) = 4,5 x^2$ (E) hat eine Stammfunktion $F(x) = 1.5 x^3 + c$. - $f(x) = \frac{3}{2} x^2$ (F) hat eine Stammfunktion $F(x) = \frac{1}{2} x^3 + c$. 2. Die Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f. Geben Sie eine mögliche Zahl für a an. Gegeben sind jeweils $f(x)$ und $F(x)$, wobei $F'(x) = f(x)$ gilt. (a) $f(x) = 3 x^2$, $F(x) = x^a$ 1. Ableitung von $F(x)$: $F'(x) = a x^{a-1}$ 2. Setze $F'(x) = f(x)$: $a x^{a-1} = 3 x^2$ 3. Damit die Gleichung für alle $x$ gilt, müssen die Exponenten gleich sein: $a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3$ 4. Setze $a=3$ in $a x^{a-1}$ ein: $3 x^{2}$, stimmt mit $f(x)$ überein. Antwort: $a = 3$ (b) $f(x) = 2 x$, $F(x) = x^2 - a$ 1. Ableitung von $F(x)$: $F'(x) = 2x - 0 = 2x$ 2. $F'(x) = f(x)$ gilt für alle $a$, da $a$ eine Konstante ist und beim Ableiten verschwindet. Antwort: $a$ kann jede Zahl sein. (c) $f(x) = 4 x^3$, $F(x) = x^4 + 1 + a$ 1. Ableitung von $F(x)$: $F'(x) = 4 x^3 + 0 + 0 = 4 x^3$ 2. $F'(x) = f(x)$ gilt für alle $a$. Antwort: $a$ kann jede Zahl sein. (d) $f(x) = (a + 1) x$, $F(x) = x^{a+1}$ 1. Ableitung von $F(x)$: $F'(x) = (a+1) x^{a}$ 2. Setze $F'(x) = f(x)$: $(a+1) x^{a} = (a+1) x$ 3. Damit die Gleichung für alle $x$ gilt, müssen die Exponenten gleich sein: $a = 1$ Antwort: $a = 1$